Equazioni differenziali
Salve a tutti.
Ho la seguente equazione differenziale e mi viene chiesto di determinare tutte le soluzione e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione di Cauchy è definita.
$y'+2x^2y=3x^2$
$y(o)=1/2$
Allora, facendo alcuni calcoli ho trovato che la mia costante C è -1. Quindi la soluzione finale mi viene
$y(x)=e^(-2x^3/3) [-1 + 3/2e^(2x^3/3)]$
(Sperando di aver fatto tutti i calcoli correttamente.)
Adesso il mio dubbio è: l'intervallo di cui sopra, è l'insieme delle x che non annullano mai la soluzione? E, quindi, in questo caso dovrebbe essere ]-∞,+∞[ ?
Vi ringrazio anticipatamente.
Ho la seguente equazione differenziale e mi viene chiesto di determinare tutte le soluzione e precisare qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione di Cauchy è definita.
$y'+2x^2y=3x^2$
$y(o)=1/2$
Allora, facendo alcuni calcoli ho trovato che la mia costante C è -1. Quindi la soluzione finale mi viene
$y(x)=e^(-2x^3/3) [-1 + 3/2e^(2x^3/3)]$
(Sperando di aver fatto tutti i calcoli correttamente.)
Adesso il mio dubbio è: l'intervallo di cui sopra, è l'insieme delle x che non annullano mai la soluzione? E, quindi, in questo caso dovrebbe essere ]-∞,+∞[ ?
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Perché "l'insieme delle $x$ che non annullano mai la soluzione"? Cosa intendi? L'intervallo di definizione è quello massimale su cui la soluzione ammette definizione: pertanto ti chiedo, dove è definita la tua soluzione?
Su tutto R.
Bene. 
Ora però prendi il teorema di esistenza e unicità e vedi cosa afferma.
Ora però prendi il teorema di esistenza e unicità e vedi cosa afferma.
Vediamo se ho capito XD
Io devo trovare quell'intervallo che mi fa avere al problema di Cauchy un'unica soluzione. In questo caso il mio intervallo dovrebbe essere tutto R. (?)
credo di non aver capito l'argomento.
Io devo trovare quell'intervallo che mi fa avere al problema di Cauchy un'unica soluzione. In questo caso il mio intervallo dovrebbe essere tutto R. (?)
credo di non aver capito l'argomento.
Hai l'enunciato del teorema di Cauchy (esistenza e unicità) sotto gli occhi? Cosa dice?
Ho un funzione definita in un rettangolo (a,b)(c,d) con valori in R continua e con dervata rispetto ad y continua
allora c'è un intorno (a0,b0) contenuto in (a,b) tale che il problema ammetta un'unica soluzione nell'intorno e
$\lim_{x \to \a0^+}y(x)=c o d$
$\lim_{x \to \b^-}y(x)=d o c$
allora c'è un intorno (a0,b0) contenuto in (a,b) tale che il problema ammetta un'unica soluzione nell'intorno e
$\lim_{x \to \a0^+}y(x)=c o d$
$\lim_{x \to \b^-}y(x)=d o c$
Scusa, ma quei due limiti?
Il professore nei suoi appunti aveva scritto così. Io non capisco infatti a cosa si riferiscono e non ho capito questo teorema neanche cercando su internet, probabilmente è la stanchezza ormai..forse dovrei riprovare domani mattina a mente fresca
Il teorema è questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... _di_Cauchy
prova a dargli un occhiata e poi ne parliamo.
prova a dargli un occhiata e poi ne parliamo.
Dopo aver perso giusto "qualche oretta" XD ho (spero) capito che l'intervallo massimale è [0,+ inf[.
Credo sia questo il motivo: La mia soluzione è definita su tutto R ed avrò comunque soluzioni positive. E' giusto? :S
Credo sia questo il motivo: La mia soluzione è definita su tutto R ed avrò comunque soluzioni positive. E' giusto? :S
? perché hai soluzioni positive? A me non sembra.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo