Equazioni differenziali
Salve, vorrei una mano sulle seguenti due equazioni differenziali. Non capisco come risolverle:
1) $y''+y=tgx$
dunque risolvo l'omogenea con il polinomio caratteristico e ok. Ora io ho sempre risolto le trigonometriche avendo senx o cosx ma come faccio con la tgx? So che $tgx=(senx)/(cosx)$ però non riesco a capire come devo impostare la soluzione generale, o se devo invece usare un altro metodo.
2) $y''+6y'+9y=1/(1+x^2)e^(-3x)$
Stesso discorso di sopra. Risolvo l'omogenea e fin qui ci sono. Ma poi come si fa quando il polinomio è al denominatore? Come devo impostare la soluzione generale???
Spero in un vostro input.
Grazie
1) $y''+y=tgx$
dunque risolvo l'omogenea con il polinomio caratteristico e ok. Ora io ho sempre risolto le trigonometriche avendo senx o cosx ma come faccio con la tgx? So che $tgx=(senx)/(cosx)$ però non riesco a capire come devo impostare la soluzione generale, o se devo invece usare un altro metodo.
2) $y''+6y'+9y=1/(1+x^2)e^(-3x)$
Stesso discorso di sopra. Risolvo l'omogenea e fin qui ci sono. Ma poi come si fa quando il polinomio è al denominatore? Come devo impostare la soluzione generale???
Spero in un vostro input.
Grazie
Risposte
Potresti usare il metodo di Lagrange (anche noto come metodo delle variazioni delle costanti).
Tempo fa, spiegai questo metodo, in un esercizio:
https://www.matematicamente.it/forum/dif ... tml#396709
Tempo fa, spiegai questo metodo, in un esercizio:
https://www.matematicamente.it/forum/dif ... tml#396709
ok, ho visto il tuo metodo, una cosa non mi è chiara prendiamo il mio secondo esercizio, a me la soluzione dell'omogenea viene $y(x)=Ae^(-3x)+Bxe^(-3x)$ quindi nello scegliere la forma della soluzione generale come devo considerare la presenza di x vicino B???
Sostituisci ad A e B due generiche $\gamma_1(x)$ e $\gamma_2(x)$, ottenendo $\varphi(x) = \gamma_1(x)e^(-3x) + \gamma_2(x)xe^(-3x)$. Poi Ti calcoli il Wronskiano, ed applichi cramer ( oppure risolvi il sistema direttamente ), sostituendo alla i-esima colonna la colonna $(0, (e^(-3x))/(1+x^2) )$ ( non so come farla verticale, anche se è orizzontale considerala trasposta ).
Così facendo ti trovi $\gamma_1'(x)$ e $\gamma_2'(x)$. Integri e sostituisci in $\varphi(x)$, dopodichè sommi all'equazione della famiglia di soluzioni dell'omogenea.
Così facendo ti trovi $\gamma_1'(x)$ e $\gamma_2'(x)$. Integri e sostituisci in $\varphi(x)$, dopodichè sommi all'equazione della famiglia di soluzioni dell'omogenea.
Non so cosa sia il Wronskiano... 
e quando la soluzione dell'omogenea, come nel primo caso, è $y(x)=Acosx+Bsenx$ la soluzione generale per il metodo di Lagrange come si trova??
e quando la soluzione dell'omogenea, come nel primo caso, è $y(x)=Acosx+Bsenx$ la soluzione generale per il metodo di Lagrange come si trova??
Ah ok, in quel caso la risoluzione sarebbe stata molto più veloce ( a parer mio ). Allora non ti resta che seguire il metodo indicato da Mathcrazy, ti costruisci il sistema formato dalle equazioni:
$\gamma_1'(x)e^(-3x) + \gamma_2'(x)xe^(-3x) = 0$
$\gamma_1'(x) \cdot D( e^(-3x) ) + \gamma_2'(x) \cdot D( xe^(-3x) ) = e^(-3x)/(x^2+1)$
E ti trovi le due variabili $\gamma_1'(x)$ e $\gamma_2'(x)$... Integri e, sostituendo in $\varphi(x)$, ti sarai trovato una soluzione particolare della non omogenea.
$\gamma_1'(x)e^(-3x) + \gamma_2'(x)xe^(-3x) = 0$
$\gamma_1'(x) \cdot D( e^(-3x) ) + \gamma_2'(x) \cdot D( xe^(-3x) ) = e^(-3x)/(x^2+1)$
E ti trovi le due variabili $\gamma_1'(x)$ e $\gamma_2'(x)$... Integri e, sostituendo in $\varphi(x)$, ti sarai trovato una soluzione particolare della non omogenea.
"flower78":
Non so cosa sia il Wronskiano...
e quando la soluzione dell'omogenea, come nel primo caso, è $y(x)=Acosx+Bsenx$ la soluzione generale per il metodo di Lagrange come si trova??
Allo stesso modo
la prima fila del sistema è:
$\gamma_1'(x)cosx+\gamma_2'(x)senx=0$
la seconda è:
$-\gamma_1'(x)sinx+\gamma_2'(x)cosx=tgx$
Anche io ti consiglio Cramer, perchè risulta molto semplice!
Immagina di chiamare ogni elemento del sistema con una lettera, cioè:
$a+b=e$
$c+d=f$
dove le lettere cosrrispondono ai rispettivi termini del sistema ($e=0$)
Poi risolvi trovando il determinante della matrice $2x2$, $|(e,b),(f,d)|$
fratto il determinante della matrice $2x2, |(a,b),(c,d)|$
In questo modo trovi $\gamma_1'(x)$, che dovrai integrare.
Per $\gamma_2'(x)$, fai lo stesso, ma al numeratore usi la matrice: $|(a,e),(c,f)|$
Qui un altro esempio:
https://www.matematicamente.it/forum/equ ... tml#398805
Si comunque mi sembra abbastanza strano che ( sempre se stai seguendo analisi due all'unveirsità ) ti abbiano assegnato ( o spiegato comunque ) le equazioni differenziale del secondo ordine, senza nemmeno averti spiegato cosa sia il wronskiano o quale sia il metodo della variazione delle costanti
Deduco che il tuo studio sia da autodidatta... In tal caso ti consiglio di seguire le dritte di faximusy magari integrandole con qualche appunto di algebra lineare ( almeno per quanto riguarda il determinante delle matrici ), vedrai che la risoluzione sarà molto più immediata!
Deduco che il tuo studio sia da autodidatta... In tal caso ti consiglio di seguire le dritte di faximusy magari integrandole con qualche appunto di algebra lineare ( almeno per quanto riguarda il determinante delle matrici ), vedrai che la risoluzione sarà molto più immediata!
ok vi ringrazio tutto chiaro 
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