Equazioni Differenziali
Ciao a tutti,
Date le due equazioni:
1) $y´= y *sin x $
2) $y´= y/x$
Attraverso la seperazioni delle variabili si trova facilmente una soluzione , ma la mia domanda é :
come si fa a trovare le altre soluzioni ( "quelle nascoste") che dipendono dalla costante che attraverso la seperazione delle costanti non é possibile trovare?
Date le due equazioni:
1) $y´= y *sin x $
2) $y´= y/x$
Attraverso la seperazioni delle variabili si trova facilmente una soluzione , ma la mia domanda é :
come si fa a trovare le altre soluzioni ( "quelle nascoste") che dipendono dalla costante che attraverso la seperazione delle costanti non é possibile trovare?
Risposte
Cosa sono le soluzioni "nascoste"?
Per la prima equazione, ad esempio, trovi le soluzioni $y(x) = C e^{-\cos x}$, $C\in RR$, e non mi sembra ce ne siano altre...
Per la prima equazione, ad esempio, trovi le soluzioni $y(x) = C e^{-\cos x}$, $C\in RR$, e non mi sembra ce ne siano altre...
"DarioBaldini":
Ciao a tutti,
Date le due equazioni:
1) $y´= y *sin x $
2) $y´= y/x$
Attraverso la seperazioni delle variabili si trova facilmente una soluzione , ma la mia domanda é :
come si fa a trovare le altre soluzioni ( "quelle nascoste") che dipendono dalla costante che attraverso la seperazione delle costanti non é possibile trovare?
Non vedo problema, mediante l'integrazione indefinita le trovi tutte (a parte la soluzione identicamente nulla, che comunque è anch'essa frutto della procedura generale).
Se non vuoi usare l'integrazione indefinita, puoi usare un problema di Cauchy variando (in $RR^2$ o dove si può) il dato iniziale $(x_0,y_0)$
"gac":
Cosa sono le soluzioni "nascoste"?
Per la prima equazione, ad esempio, trovi le soluzioni $y(x) = C e^{-\cos x}$, $C\in RR$, e non mi sembra ce ne siano altre...
Per esempio data l´equazione:
$y´= xy^2$
e quindi
$y= -2/(x^2)+2c$
il nostro prof ha tracciato un grafico e ha detto che ci sono delle soluzioni che dipendono da questa costante c.
Ma un per un metodo come trovarle non l´ha detto.
A parte la soluzione identicamente nulla, le altre sono del tipo
$y = -\frac{2}{x^2+c}$.
Per ogni valore $c>0$ ottieni una soluzione definita su tutto $RR$; per $c=0$ ottieni due soluzioni,
$y_1(x) = -\frac{2}{x^2}$, $x\in (-\infty, 0)$,
$y_2(x) = -\frac{2}{x^2}$, $x\in (0,+\infty)$.
Per ogni valore $c<0$ ottieni tre soluzioni, definite dalla medesima legge ma con domini diversi; una è definita in
$(-\infty, -\sqrt{-c})$, una in $(-\sqrt{-c}, \sqrt{-c})$, e una in $(\sqrt{-c}, +\infty)$.
Anche in questo caso non mi risulta ce ne siano altre.
$y = -\frac{2}{x^2+c}$.
Per ogni valore $c>0$ ottieni una soluzione definita su tutto $RR$; per $c=0$ ottieni due soluzioni,
$y_1(x) = -\frac{2}{x^2}$, $x\in (-\infty, 0)$,
$y_2(x) = -\frac{2}{x^2}$, $x\in (0,+\infty)$.
Per ogni valore $c<0$ ottieni tre soluzioni, definite dalla medesima legge ma con domini diversi; una è definita in
$(-\infty, -\sqrt{-c})$, una in $(-\sqrt{-c}, \sqrt{-c})$, e una in $(\sqrt{-c}, +\infty)$.
Anche in questo caso non mi risulta ce ne siano altre.
Io credo che DarioBaldini stia parlando delle "soluzioni singolari" cioè quelle soluzioni che non fanno parte dell'integrale generale (non si ottengono al variare della costante c). L'integrale singolare dell'equazione differenziale $y' =x y^2$ è appunto la funzione $y(x)=0$ (non esiste alcun numero reale c tale che [tex]\forall x\quad y=-\frac{2}{x^2+c} =0 \quad[/tex] ). Sinceramente non ne so molto a riguardo 
Ah, forse hai ragione.
Comunque, quando si usa il metodo di separazione delle variabili per prima cosa occorre identificare le soluzioni costanti che si trovano in corrispondenza di quei valori di $y$ che annullano il secondo membro.
Bisogna infatti accertarsi di non dividere per $0$ quando si effettua la "separazione" vera e propria delle variabili.
Comunque, quando si usa il metodo di separazione delle variabili per prima cosa occorre identificare le soluzioni costanti che si trovano in corrispondenza di quei valori di $y$ che annullano il secondo membro.
Bisogna infatti accertarsi di non dividere per $0$ quando si effettua la "separazione" vera e propria delle variabili.
In passato abbiamo parlato proprio di questo argomento. Guarda qui:
https://www.matematicamente.it/forum/met ... 31066.html
https://www.matematicamente.it/forum/met ... 31066.html
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