Equazioni differenziali

[75america]

Raga sto cecando di fare alcune equazioni differenziali lineari del primo ordine, ma alcune non mi vengono(secondo me cmq sono facili queste)
$y'=(tgx)y$, $y'=-y/2x$, $y'=2y/x$
allora per la prima ho cercato la primitiva $tgx=(senx)/(cosx)=-int (f'x)/f(x)=-log|cosx|+c$ quindi verrebbe: $yce^(-log|cosx|+c)$ poi non ho capito ad esempio
se io ho $e^log(senx+1)=(senx+1)$, vero?
poi la seconda: devo trovarmi la primitiva di $-1/2x=-1/2int 1/x=-1/2logx=yce^(-1/2logx)$ ma ovviamente questo integrale generale è sbagliato o almeno incompleto.
La terza neanche a parlarne....
Raga aiutatemi voi. Grazie a tutti

[Lord K]

"75america":Raga sto cecando di fare alcune equazioni differenziali lineari del primo ordine, ma alcune non mi vengono(secondo me cmq sono facili queste)
$y'=(tgx)y$, $y'=-y/2x$, $y'=2y/x$
allora per la prima ho cercato la primitiva $tgx=(senx)/(cosx)=-int (f'x)/f(x)=-log|cosx|+c$ quindi verrebbe: $yce^(-log|cosx|+c)$ poi non ho capito ad esempio
se io ho $e^log(senx+1)=(senx+1)$, vero?

Esatto, infatti qui tu componi una funzione con la sua inversa ($e^x$, $lnx$).

poi la seconda: devo trovarmi la primitiva di $-1/2x=-1/2int 1/x=-1/2logx=yce^(-1/2logx)$ ma ovviamente questo integrale generale è sbagliato o almeno incompleto.
La terza neanche a parlarne....
Raga aiutatemi voi. Grazie a tutti

Qui abbiamo:

$y'=-y/2*x$
$(y')/y=-x/2$
$ln|y| = -x^2/4+c$

quindi:

$y= c*e^(-x^2/4)$

e per la terza:

$(y')/y=2/x$
$ln|y| = 2ln|x|+c$
$y=c*x^2$

Tutto chiaro?

[75america]

come al solito non mi è tutto chiaro:
allora la prima viene $y=c/cos x$
la seconda $y=c/sqrtx$
la terza viene come hai detto tu, solo che una cosa se ho $y=ce^(2log|x|)4$ è uguale proprio a $y=cx^2$ (se fosse così i numeri presenti vicino $log|x|$ sarebbero poi esponenti del risulato$e^log|x|=x$?
aspetto tuoi chiarimenti, come sempre grazie

[Lord K]

"75america":come al solito non mi è tutto chiaro:
allora la prima viene $y=c/cos x$

No il risultato è:

$y=c*cos(x)$

visto che il meno è sia a destra che a sinistra.

la seconda $y=c/sqrtx$

Anche qui no! Il risultato è quello che ti ho postato, ovvero:

$y=c*e^(-x^2/4)$

la terza viene come hai detto tu, solo che una cosa se ho $y=ce^(2log|x|)4$ è uguale proprio a $y=cx^2$ (se fosse così i numeri presenti vicino $log|x|$ sarebbero poi esponenti del risulato$e^log|x|=x$?

Sì, la proprietà che uso è:

$a^n=[e^(lna)]^n = e^(n*lna)$

aspetto tuoi chiarimenti, come sempre grazie

Di nulla!

[75america]

grazie adesso sto cercando di fare questo:
$y'=(1+logx)y$ solo che non so fare lintegrale di logx e pure questo:
$y'=y/(xlogx)$

[75america]

scusate ma io non vorrei confondermi ma vorrei sapere da voi che tipo di equazioni differenziali sono queste:
$y''+4y=2senx$, $y'=f(x,y)$, $y'=-y^2/(1+x^2)$ e $y'=ysenx+sen2x$,
a me sembrano equ. lineari di ordine 1 e 2 non omogenee, però non vorrei che fossero tipo a variabili separabili o di qualche altro tip, visto che ce ne sono così tante.
grazie a tutti