Equazioni differenziali
ho un paio di esercizi su cui ho qualche dubbio, il primo:
Sia $f:RR->RR$ la funzione definita
$f(y)={(y " se " y<=1),(1 " se " y>=1):}$
determinare al variare del parametro $a>=0$ la soluzione di
${(y'=f(y)),(y(0)=a):}$
io per risolverlo l'ho spezzato in due
${(y'=y),(y(0)=a):}$
${(y'=1),(y(0)=a):}$
il primo ha soluzione $y=a*e^x$ il secondo $y=x+a$
la prima vale per $y<=1$ quindi $x<=-log(a)$ la seconda per $x>=1-a$. Devo "incollare" le due soluzioni, e si può fare solamente quando $a=1$ negli altri casi $-log(a)>1-a$ e quindi non si incollano. Che dite? giusto? ammetto che non ho la più pallida idea neanche sul fatto di aver scritto cose sensate o no
Se qualcuno sa aiutarmi su questo poi magari posto anche il secondo e magari ci penso ancora un po' su. ciao
Sia $f:RR->RR$ la funzione definita
$f(y)={(y " se " y<=1),(1 " se " y>=1):}$
determinare al variare del parametro $a>=0$ la soluzione di
${(y'=f(y)),(y(0)=a):}$
io per risolverlo l'ho spezzato in due
${(y'=y),(y(0)=a):}$
${(y'=1),(y(0)=a):}$
il primo ha soluzione $y=a*e^x$ il secondo $y=x+a$
la prima vale per $y<=1$ quindi $x<=-log(a)$ la seconda per $x>=1-a$. Devo "incollare" le due soluzioni, e si può fare solamente quando $a=1$ negli altri casi $-log(a)>1-a$ e quindi non si incollano. Che dite? giusto? ammetto che non ho la più pallida idea neanche sul fatto di aver scritto cose sensate o no
Se qualcuno sa aiutarmi su questo poi magari posto anche il secondo e magari ci penso ancora un po' su. ciao
Risposte
Che debbano essere incollate è corretto.
Questo problema era appena stato affrontato in un post.
Vedi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/sol ... tml#238809
e (quasi
) tutto il thread.
Questo problema era appena stato affrontato in un post.
Vedi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/sol ... tml#238809
e (quasi
) tutto il thread.
i discorsi sono sensati... però ho qualche perplessità:
tu hai in qualche modo trovato a=1 che ti permette di dire che cosa? che la funzione è continua in x=1. era richiesto? deve essere derivabile?
se deve essere derivabile in x=1, quella ricavata da a=1 non lo è: il limite sinistro della derivata è "e", il ilmite destro è 1....
poi ho pensato che y(0)=a, visto che 0<=1, potrebbe essere utilizzabile solo per la prima parte. se è così otterresti:
${[y=a*e^x " se " y<=1], [y=x+c " se " y>=1] :}$
in tal caso si avrebbe, per la derivabilità, $a=e^-1$, e, per la continuità, $c=0$.
però non sono certa di quello che ho scritto.
magari si poteva trovare tranquillamente una funzione definita a tratti discontinua in x=1...
in tal caso decadrebbero tutte le osservazioni (sia le mie sia le tue).
in questo caso il problema sarebbe stato continuare la discussione al variare del parametro...
spero di non aver detto sciocchezze e di essere stata utile. ciao.
tu hai in qualche modo trovato a=1 che ti permette di dire che cosa? che la funzione è continua in x=1. era richiesto? deve essere derivabile?
se deve essere derivabile in x=1, quella ricavata da a=1 non lo è: il limite sinistro della derivata è "e", il ilmite destro è 1....
poi ho pensato che y(0)=a, visto che 0<=1, potrebbe essere utilizzabile solo per la prima parte. se è così otterresti:
${[y=a*e^x " se " y<=1], [y=x+c " se " y>=1] :}$
in tal caso si avrebbe, per la derivabilità, $a=e^-1$, e, per la continuità, $c=0$.
però non sono certa di quello che ho scritto.
magari si poteva trovare tranquillamente una funzione definita a tratti discontinua in x=1...
in tal caso decadrebbero tutte le osservazioni (sia le mie sia le tue).
in questo caso il problema sarebbe stato continuare la discussione al variare del parametro...
spero di non aver detto sciocchezze e di essere stata utile. ciao.
Ho capito:
se a<1 y(0)=a devo imporlo alla "prima" soluzione
se a>1 y(0)=a devo imporlo alla "seconda"
se a=1 devo imporlo ad entrambe
poi siccome mi aspetto una soluzione $C^1$ perchè f è continua, avrò altre condizioni da imporre e regolarità da verificare.
Ora svolgo nei dettagli e poi dò un'occhiata al post (che tra l'altro avevo evitato di leggere perchè ci sono punti non scritti in codice )
grazie ad entrambi. dopo magari metto pure il secondo di problema
se a<1 y(0)=a devo imporlo alla "prima" soluzione
se a>1 y(0)=a devo imporlo alla "seconda"
se a=1 devo imporlo ad entrambe
poi siccome mi aspetto una soluzione $C^1$ perchè f è continua, avrò altre condizioni da imporre e regolarità da verificare.
Ora svolgo nei dettagli e poi dò un'occhiata al post (che tra l'altro avevo evitato di leggere perchè ci sono punti non scritti in codice
)grazie ad entrambi. dopo magari metto pure il secondo di problema
Direi di sì.
Per esempio puoi risolvere l'equadiff "ignorando" i "vincoli".
Hai $y = c e^x$ e $y = x + d$.
Poi, se $a > 1$, ovviamente "imponi" la c.i. a $x+d$ e quindi trovi $y = x + a$.
Poi, questa assume valore $1$ in $x = 1-a$ (lo si trova risolvendo la difficile equazione $1 = x + a$).
Ma allora l'altro "pezzo" nel punto $1-a$ deve assumere valore $1$.
Pertanto: $c e^(1-a) = 1$. Lascio a te il compito durissimo di trovare $c$
Conti analoghi negli alti casi (che tu hai già evidenziato)
s.e.o.
Per esempio puoi risolvere l'equadiff "ignorando" i "vincoli".
Hai $y = c e^x$ e $y = x + d$.
Poi, se $a > 1$, ovviamente "imponi" la c.i. a $x+d$ e quindi trovi $y = x + a$.
Poi, questa assume valore $1$ in $x = 1-a$ (lo si trova risolvendo la difficile equazione $1 = x + a$).
Ma allora l'altro "pezzo" nel punto $1-a$ deve assumere valore $1$.
Pertanto: $c e^(1-a) = 1$. Lascio a te il compito durissimo di trovare $c$
Conti analoghi negli alti casi (che tu hai già evidenziato)
s.e.o.
da capo, ho le soluzioni:
$y_1(x)=k*e^x$ e $y_2(x)=x+c$ devo imporre la condizione iniziale $y(0)=a$ e farle raccordare bene ($C^1$)
nel caso $a<1$ vale la prima delle soluzioni quindi $k=a$ e vale fino a che $y(x)<=1$ quindi $x<=-log(a)$ devo imporre
$y_1(-log(a))=y_2(-log(a))$ ottengo $c=1+log(a)$ quindi
$y(x)={(a*e^x, se\quad x<=-log(a)),(x+1+log(a), se\quad x>=-log(a)):}$
la soluzione è in questo caso $C^1$
per $a=1$ ottengo
$y(x)={(a*e^x, se\quad x<=0),(x+a,se\quadx>=0):}$ stavolta la soluzione non è $C^1$ quindi non posso accettarla
per $a>1$ ottengo $c=a$ e vale la $y_2$ per ogni x tale che $y_2(x)>=1$ quindi $x>=1-a$ devo imporre che $y_1(1-a)=y_2(1-a)$ quindi $k*e^(1-a)=1$ e $k=e^(a-1)$
$y(x)={(e^(a-1)*e^x,se\quad x<=1-a),(x+a,se\quad x>=1-a):}$
in questo caso la soluzione è derivabile quindi va bene.
OK. problema risolto, ora il secondo su cui non ho saputo mettere mano (a parte fare qualche integrale):
Dimostrare che $AAlambda>0$ il problema di Cauchy
${(y'=y^2-y^6),(y(0)=lambda):}$
ammette un'unica soluzione in $[0,+oo)$ per ogni $lambda>0$ e che
$lim_(x->+oo)y_lambda(x)=1$
Volevo applicare il teorema di esistenza e unicità globale ma l'ipotesi che $f(x,y)<=L_1+L_2|y|$ per ogni x,y dell'intervallo considerato non mi pare che funzioni, e oltre qua non so andare.
Dopo di che ho provato a risolvere integrando, ho ottenuto:
$-1/2y-1/2arctg(y)-1/4log(y-1)+1/4log(y+1)=x$ e qui mi sono fermato di nuovo.
Qualche consiglio?
$y_1(x)=k*e^x$ e $y_2(x)=x+c$ devo imporre la condizione iniziale $y(0)=a$ e farle raccordare bene ($C^1$)
nel caso $a<1$ vale la prima delle soluzioni quindi $k=a$ e vale fino a che $y(x)<=1$ quindi $x<=-log(a)$ devo imporre
$y_1(-log(a))=y_2(-log(a))$ ottengo $c=1+log(a)$ quindi
$y(x)={(a*e^x, se\quad x<=-log(a)),(x+1+log(a), se\quad x>=-log(a)):}$
la soluzione è in questo caso $C^1$
per $a=1$ ottengo
$y(x)={(a*e^x, se\quad x<=0),(x+a,se\quadx>=0):}$ stavolta la soluzione non è $C^1$ quindi non posso accettarla
per $a>1$ ottengo $c=a$ e vale la $y_2$ per ogni x tale che $y_2(x)>=1$ quindi $x>=1-a$ devo imporre che $y_1(1-a)=y_2(1-a)$ quindi $k*e^(1-a)=1$ e $k=e^(a-1)$
$y(x)={(e^(a-1)*e^x,se\quad x<=1-a),(x+a,se\quad x>=1-a):}$
in questo caso la soluzione è derivabile quindi va bene.
OK. problema risolto, ora il secondo su cui non ho saputo mettere mano (a parte fare qualche integrale):
Dimostrare che $AAlambda>0$ il problema di Cauchy
${(y'=y^2-y^6),(y(0)=lambda):}$
ammette un'unica soluzione in $[0,+oo)$ per ogni $lambda>0$ e che
$lim_(x->+oo)y_lambda(x)=1$
Volevo applicare il teorema di esistenza e unicità globale ma l'ipotesi che $f(x,y)<=L_1+L_2|y|$ per ogni x,y dell'intervallo considerato non mi pare che funzioni, e oltre qua non so andare.
Dopo di che ho provato a risolvere integrando, ho ottenuto:
$-1/2y-1/2arctg(y)-1/4log(y-1)+1/4log(y+1)=x$ e qui mi sono fermato di nuovo.
Qualche consiglio?
"rubik":
per $a=1$ ottengo
$y(x)={(a*e^x, se\quad x<=0),(x+a,se\quadx>=0):}$ stavolta la soluzione non è $C^1$ quindi non posso accettarla
Eeehhh???
Vuoi dire che hai trovato un controesempio al teorema di esistenza e unicità? Osservo infatti che le ipotesi del teorema sono soddisfatte. La funzione "a secondo membro" è puranco lipschitziana, anche se a rigore non serve, per le cose a variabili separabili (lo dico prima che dissonance si faccia vivo
).O forse semplicemente vuoi dire che non sei riuscito a trovarla?
"Fioravante Patrone":
[quote="rubik"]
per $a=1$ ottengo
$y(x)={(a*e^x, se\quad x<=0),(x+a,se\quadx>=0):}$ stavolta la soluzione non è $C^1$ quindi non posso accettarla
Eeehhh???
Vuoi dire che hai trovato un controesempio al teorema di esistenza e unicità? Osservo infatti che le ipotesi del teorema sono soddisfatte. La funzione "a secondo membro" è puranco lipschitziana, anche se a rigore non serve, per le cose a variabili separabili (lo dico prima che dissonance si faccia vivo
).O forse semplicemente vuoi dire che non sei riuscito a trovarla?
[/quote]
evidentemente non sono riuscito a trovarla, grazie per la "dritta", ora cerco di capire cosa mi sfugge.
se a=1 ho:
$y(x)={(e^x,se\quad x<=0),(x+1,se\quad x>=0):}$
la soluzione è $C^1$. Ora meglio no? (doveva essere quella la soluzione!). Stavolta ci dovrei essere sul serio, senza sviste madornali, sul secondo puoi darmi qualche suggerimento? grazie mille comunque!
$y(x)={(e^x,se\quad x<=0),(x+1,se\quad x>=0):}$
la soluzione è $C^1$. Ora meglio no? (doveva essere quella la soluzione!). Stavolta ci dovrei essere sul serio, senza sviste madornali, sul secondo puoi darmi qualche suggerimento? grazie mille comunque!
sì, ti avevo portato io fuori strada. il raccordo con y=0 era con x=0 ... i limiti che avevo fatto io erano per x->1 ... scusa (però l'avevo scritto x=1...)
però nel testo c'è a>=0, mentre ho l'impressione che la discussione che hai fatto per a<1 escluda il caso a=0.
non aggiungo altro, altrimenti rischio di dire altre sciocchezze...
ciao.
però nel testo c'è a>=0, mentre ho l'impressione che la discussione che hai fatto per a<1 escluda il caso a=0.
non aggiungo altro, altrimenti rischio di dire altre sciocchezze...
ciao.
In realtà ho capito dal tuo post come andava fatto, e leggendo quello proposto da Fioravante Patrone ho avuto conferma. per a ho copiato male il testo era a>0, avevo quello in testa neanche mi sono preoccupato di a=0. grazie
prego. meglio così. ciao.
per l'altro esercizio, magari non ti aiuterà, però ho provato a fare l'integrazione ed il risultato è un po' diverso dal tuo... (per come sono ispirata oggi, è meglio prendelo con le molle...): a me viene -1/y anziché -1/2 y e +1/4 davanti a entrambi i logaritmi.
se hai pensato di cambiare segno perché hai scritto (y-1) anziché (1-y)... è sbagliato.
poi manca la costante arbitraria.
prima di andare avanti ti conviene ricontrollare i conti. ciao.
se hai pensato di cambiare segno perché hai scritto (y-1) anziché (1-y)... è sbagliato.
poi manca la costante arbitraria.
prima di andare avanti ti conviene ricontrollare i conti. ciao.
ho finalmente ricontrollato i conti e viene (dovrebbe):
$-1/y-1/2arctg(y)+1/4log(1+y)+1/4log(1-y)=x+c$
il problema originale era:
${(y'=y^2-y^6),(y(0)=lambda):}$
c'è un problema però perchè se $lambda>1$ l'espressione trovata sopra non è definita. Io l'ho ottenuta integrando
$1/y^2-1/(2(1+y^2))+1/(4(1+y))+1/(4(1-y))(=1/(y^2-y^6))$
ora $int1/(4(1-y))=-int1/(4(y-1))$
in questo modo ottengo
$-1/y-1/2arctg(y)+1/4log(1+y)-1/4log(y-1)=x+c$ e questa non è definita per $lambda<1$
quindi dovrei avere due diverse primitive a seconda di $y(0)$
devo verificare che $lim_(x->+oo)y_lambda(x)=1$
ora se $lambda=1$ la soluzione è $y(x)=1$
se $lambda>1$ dalla seconda delle espressioni che ho ottenuto il termine destro va a $+oo$ il termine sinistro può andarci solo se $y->0$ o $y->1$ essendo $y(0)>1$ e y continua se $y->0$ dovrebbe essere $y(barx)=1$ per un $barx>0$ e questo è impossibile, quindi $y->1$
se $lambda<1$ mi pare che non funzioni per un problema di segni.
sbaglio qualcosa o mi sfugge qualcosa? per l'unicità della soluzione in $[0,+oo)$ qualche suggerimento?(cerco anche conferme dei passaggi che ho fatto) grazie
$-1/y-1/2arctg(y)+1/4log(1+y)+1/4log(1-y)=x+c$
il problema originale era:
${(y'=y^2-y^6),(y(0)=lambda):}$
c'è un problema però perchè se $lambda>1$ l'espressione trovata sopra non è definita. Io l'ho ottenuta integrando
$1/y^2-1/(2(1+y^2))+1/(4(1+y))+1/(4(1-y))(=1/(y^2-y^6))$
ora $int1/(4(1-y))=-int1/(4(y-1))$
in questo modo ottengo
$-1/y-1/2arctg(y)+1/4log(1+y)-1/4log(y-1)=x+c$ e questa non è definita per $lambda<1$
quindi dovrei avere due diverse primitive a seconda di $y(0)$
devo verificare che $lim_(x->+oo)y_lambda(x)=1$
ora se $lambda=1$ la soluzione è $y(x)=1$
se $lambda>1$ dalla seconda delle espressioni che ho ottenuto il termine destro va a $+oo$ il termine sinistro può andarci solo se $y->0$ o $y->1$ essendo $y(0)>1$ e y continua se $y->0$ dovrebbe essere $y(barx)=1$ per un $barx>0$ e questo è impossibile, quindi $y->1$
se $lambda<1$ mi pare che non funzioni per un problema di segni.
sbaglio qualcosa o mi sfugge qualcosa? per l'unicità della soluzione in $[0,+oo)$ qualche suggerimento?(cerco anche conferme dei passaggi che ho fatto) grazie
dalle soluzioni sembrerebbero non accettabili y=-1, 0, +1.
quando integri, ai logaritmi non ti dimenticare che c'è il modulo.
non so se il problema è questo, certo che il rapporto tra $c$ e $lambda$ in qualche modo si trova, ma non è altrettanto facile invertire (trovare soluzione in maniera esplicita rispetto ad y). se il problema ti si risolve mettendo i moduli, correggi. però non so se è solo questo. non ho inquadrato bene il problema. facci sapere. ciao.
quando integri, ai logaritmi non ti dimenticare che c'è il modulo.
non so se il problema è questo, certo che il rapporto tra $c$ e $lambda$ in qualche modo si trova, ma non è altrettanto facile invertire (trovare soluzione in maniera esplicita rispetto ad y). se il problema ti si risolve mettendo i moduli, correggi. però non so se è solo questo. non ho inquadrato bene il problema. facci sapere. ciao.
i moduli! 
c'è anche un altro problema i segni dei logaritmi mi sa che andavano bene i miei:
$-1/y-1/2arctg(y)+1/4log|1+y|-1/4log|1-y|=x+c$ (c'è il meno della derivata di 1-y)
c mi sono disinteressato perchè devo fare il limite per $x->+oo$, col segno meno là davanti torna in tutti i casi.
Mi manca di capire l'unicità... ciao e grazie
c'è anche un altro problema i segni dei logaritmi mi sa che andavano bene i miei:
$-1/y-1/2arctg(y)+1/4log|1+y|-1/4log|1-y|=x+c$ (c'è il meno della derivata di 1-y)
c mi sono disinteressato perchè devo fare il limite per $x->+oo$, col segno meno là davanti torna in tutti i casi.
Mi manca di capire l'unicità... ciao e grazie
io avevo fatto i calcoli un po' velocemente: non ho quindi davanti i parziali. però togliendo brutalmente quelli che vengono 0 e sostituendo 1 e -1/2 agli altri coefficienti che ci vengono uguali, a me risulta $+Cy^5-Dy^5=0$ come identità e quindi $C=D$ cioè stesso segno (i termini con 1/4).
posso essermi sbagliata, però, a monte, C (numeratore di 1-y) moltiplicava $y^2*(1+y+y^2+y^3)$, mentre D (numeratore di y+1) moltiplicava $y^2*(1-y+y^2-y^3)$. questo ti torna?
il limite per x->+infinito io non lo riesco a vedere se non si riesce a scrivere in forma più compatta rispetto ad y (e questo almeno in parte dipende anche da qualche particolare ancora da chiarire).
ci risentiamo più tardi. ora pensavo di essere più utile in un altro topic.
fammi sapere a che punto riesci ad arrivare. ciao.
posso essermi sbagliata, però, a monte, C (numeratore di 1-y) moltiplicava $y^2*(1+y+y^2+y^3)$, mentre D (numeratore di y+1) moltiplicava $y^2*(1-y+y^2-y^3)$. questo ti torna?
il limite per x->+infinito io non lo riesco a vedere se non si riesce a scrivere in forma più compatta rispetto ad y (e questo almeno in parte dipende anche da qualche particolare ancora da chiarire).
ci risentiamo più tardi. ora pensavo di essere più utile in un altro topic.
fammi sapere a che punto riesci ad arrivare. ciao.
c'è da integrare $1/y^2-1/(2(1+y^2))+1/(4(1+y))+1/(4(1-y))$
però $int1/(1-y)=-log|1-y|$
sia $y<1$ allora $D(-log|1-y|)=(-1)*1/(1-y)D(1-y)=(-1)*1/(1-y)*(-1)=1/(1-y)$ il meno viene fuori dall'integrazione
quindi ottengo $-1/y-1/2arctg(y)+1/4log|1+y|-1/4log|1-y|=x+c$
anche se è implicita se il termine a destra "diverge" deve divergere anche quello a sinistra.
Se $y(0)=lambda>1$ ottieni che $y'<0$ quindi y non va a $+oo$ quindi l'unico modo per cui potrebbe "divergere" il termine a destra è che $y->0$ (in questo caso diverge $1/y$) o $y->1$ (in questo $log|1-y|$) siccome y non può assumere il valore 1 deve essere $y->1$. PIù di questo non so fare
però $int1/(1-y)=-log|1-y|$
sia $y<1$ allora $D(-log|1-y|)=(-1)*1/(1-y)D(1-y)=(-1)*1/(1-y)*(-1)=1/(1-y)$ il meno viene fuori dall'integrazione
quindi ottengo $-1/y-1/2arctg(y)+1/4log|1+y|-1/4log|1-y|=x+c$
anche se è implicita se il termine a destra "diverge" deve divergere anche quello a sinistra.
Se $y(0)=lambda>1$ ottieni che $y'<0$ quindi y non va a $+oo$ quindi l'unico modo per cui potrebbe "divergere" il termine a destra è che $y->0$ (in questo caso diverge $1/y$) o $y->1$ (in questo $log|1-y|$) siccome y non può assumere il valore 1 deve essere $y->1$. PIù di questo non so fare
sì, l'altro meno me l'ero perso io... 
$-1/y+log(root(4)(|(1+y)/(1-y)|))-1/2 arctg(y)=x+c$
$c=-1/(lambda)+1/4log|(1+lambda)/(1-lambda)|-1/2arctg(lambda)$
poi io non so che cosa dovresti fare...
tu però parlavi di un teorema... quale?
perché magari ci siamo avventurati in calcoli non richiesti...
ciao.
$-1/y+log(root(4)(|(1+y)/(1-y)|))-1/2 arctg(y)=x+c$
$c=-1/(lambda)+1/4log|(1+lambda)/(1-lambda)|-1/2arctg(lambda)$
poi io non so che cosa dovresti fare...
tu però parlavi di un teorema... quale?
perché magari ci siamo avventurati in calcoli non richiesti...
ciao.
Allora, proviamo "senza conti".
Chiamo $b(y) = y^2 - y^6$. Per $y \ge 0$ (la zona che interessa), $b(y)$ si annulla in $0$, $1$.
Ovviamente $y(x) = 1$ per ogni $x$ è soluzione.
Ovviamente ancora, vale il teorema di esistenza e unicità (in "piccolo"). La soluzione del pb di Cauchy, con $y(0) = \lambda$, proprio per via del teorema di esistenza ed unicità, è "confinata"ad avere valori in:
- $]0,1[$ se $0 < \lambda < 1$, e in questo caso la $y(x)$ è strettamente crescente (lo si vede dal segno della funzione $b$, che è strettamente positiva su $]0,1[$)
- $]1,+oo[$ se $1 < \lambda$, e in questo caso la $y(x)$ è strettamente decrescente (lo si vede dal segno bla bla)
Mi limito a considerare il caso $\lambda \in ]0,1[$, l'altro è analogo. E mi limito a considerare solo $x \ge 0$ (idem).
Considero la soluzione massimale del pb di Cauchy, con $0 < \lambda < 1$ L'esistenza della soluzione massimale è garantita, visto che il secondo membro è $C^1$ su tutto $RR^2$ (faccio per dire, ovviamente la dinamica del problema è determinata dalla funzione $b$ che non dipende esplicitamente da $x$; insomma, abbiamo un'equazione "autonoma"). Non solo, è noto che nelle ipotesi ricordate il grafico della soluzione massimale deve arrivare "al bordo dell'insieme di definizione". Ciò detto, la soluzione massimale non può essere definita altro che su $]0, +oo[$.
Basta considerare che:
- non può essere definita su $[0,c]$. Basta applicare il teorema di esistenza con c.i. $(c,y(c))$ per avere una contraddizione con la massimalità
- non può essere definita su $[0,c[$, perché per la stretta crescenza di $y(x)$ la si può prolungare a $[0,c]$, basta definirla in $c$ così: $y(c) = $ sup ${ y(x) : x
A questo punto resta solo da provare che il lim all'infinito è 1.
Ma che il limite esista è garantito dalla stretta monotonia.
E il limite non può essere (sempre caso $\lambda \in ]0,1[$) minore strettamente di $1$. Perché per $x$ "abbastanza grandi" si avrebbe contraddizione con la derivata che dovrebbe tendere a zero, mentre la $b(y)$ sta "staccata" dal valore zero.
Ok, so che le ultime due righe andrebbero dettagliate, ma lascio il compito al lettore
Chiamo $b(y) = y^2 - y^6$. Per $y \ge 0$ (la zona che interessa), $b(y)$ si annulla in $0$, $1$.
Ovviamente $y(x) = 1$ per ogni $x$ è soluzione.
Ovviamente ancora, vale il teorema di esistenza e unicità (in "piccolo"). La soluzione del pb di Cauchy, con $y(0) = \lambda$, proprio per via del teorema di esistenza ed unicità, è "confinata"ad avere valori in:
- $]0,1[$ se $0 < \lambda < 1$, e in questo caso la $y(x)$ è strettamente crescente (lo si vede dal segno della funzione $b$, che è strettamente positiva su $]0,1[$)
- $]1,+oo[$ se $1 < \lambda$, e in questo caso la $y(x)$ è strettamente decrescente (lo si vede dal segno bla bla)
Mi limito a considerare il caso $\lambda \in ]0,1[$, l'altro è analogo. E mi limito a considerare solo $x \ge 0$ (idem).
Considero la soluzione massimale del pb di Cauchy, con $0 < \lambda < 1$ L'esistenza della soluzione massimale è garantita, visto che il secondo membro è $C^1$ su tutto $RR^2$ (faccio per dire, ovviamente la dinamica del problema è determinata dalla funzione $b$ che non dipende esplicitamente da $x$; insomma, abbiamo un'equazione "autonoma"). Non solo, è noto che nelle ipotesi ricordate il grafico della soluzione massimale deve arrivare "al bordo dell'insieme di definizione". Ciò detto, la soluzione massimale non può essere definita altro che su $]0, +oo[$.
Basta considerare che:
- non può essere definita su $[0,c]$. Basta applicare il teorema di esistenza con c.i. $(c,y(c))$ per avere una contraddizione con la massimalità
- non può essere definita su $[0,c[$, perché per la stretta crescenza di $y(x)$ la si può prolungare a $[0,c]$, basta definirla in $c$ così: $y(c) = $ sup ${ y(x) : x
A questo punto resta solo da provare che il lim all'infinito è 1.
Ma che il limite esista è garantito dalla stretta monotonia.
E il limite non può essere (sempre caso $\lambda \in ]0,1[$) minore strettamente di $1$. Perché per $x$ "abbastanza grandi" si avrebbe contraddizione con la derivata che dovrebbe tendere a zero, mentre la $b(y)$ sta "staccata" dal valore zero.
Ok, so che le ultime due righe andrebbero dettagliate, ma lascio il compito al lettore
Diciamo che mi è chiaro nel senso generale, mi sfugge un po' il concetto di soluzione massimale (che andrò a rivedermi) e come dedurre da ciò l'unicità della soluzione. Comunque grazie mille ad entrambi per la pazienza. ciao
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