Equazioni differenziali

[98765432102]

ciao, ma come si risolvono le eq. differenziali a coeff. non costanti di ordine maggiore di 1?esiste un metodo?avete delle guide?

[antrope]

Purtroppo le equazioni differenziali a coefficienti non costanti con ordine maggiore di uno non hanno un metodo di risoluzione esplicito, e l'unica cosa che si può fare è cercare una soluzione conoscendone un altra, alla quale purtroppo ci si arriva comunque a tentativi

[gugo82]

Che io sappia, in generale non ci sono metodi per determinare una rappresentazione esplicita delle soluzioni di una qualunque equazione differenziale a coefficienti variabili con condizioni iniziali o agli estremi (N.B.: quando si parla dell'esistenza delle soluzioni, è impensabile fare a meno dei "dati iniziali" o delle "condizioni agli estremi" associate ad un'equazione differenziale: sarebbe come voler fare il pane senza la farina! ).

Per alcune classi di problemi è possibile fornire una rappresentazione esplicita delle soluzioni del tipo $"integrale particolare dell'eq. completa"+"integrale particolare dell'eq. omogenea"$ (come quella che si ricava, per le eq. lineari a coefficienti costanti, col Metodo di Lagrange).
Per altre classi di problemi è possibile fornire un'espressione della soluzione in serie di autofunzioni (ad esempio ciò avviene per il problema di Sturm-Liouville o per alcune EDP a coefficienti costanti su domini non troppo "strani", come cerchi, sfere o cubi).
Per altre classi di problemi si ha a disposizione solo un teorema di esistenza e non si sa nulla sulla rappresentazione della soluzione...

Però il mondo delle equazioni differenziali è incredibilmente vasto e sicuramente qualcun altro ne saprà più di me: pertanto è probabile che arrivi qualche altro post più chiarificatore del mio.