Equazioni differenziali
rega vorrei capire bene questo problema me lo potreste spigare con chiarezza.
Una quantita di batteri cresce in modo proportizionale dopo un ora triplica
praticamente devo risolvere il problema di Cauchy
$y'=ky$
la cosa che non mi è chiara è perchè devo ugualiare la derivata prima con la funzione y...
Spero a presto.
Una quantita di batteri cresce in modo proportizionale dopo un ora triplica
praticamente devo risolvere il problema di Cauchy
$y'=ky$
la cosa che non mi è chiara è perchè devo ugualiare la derivata prima con la funzione y...
Spero a presto.
Risposte
Ciao. Anzitutto, quella che hai scritto è soltanto un'equazione differenziale (molto semplice, peraltro) e non un problema di Cauchy. E' vero, il problema che hai postato ti richiede di risolvere un problema di Cauchy. Cerchiamo di fare chiarezza insieme.
Sia $y(t)$ una funzione del tempo che ti dice quanti batteri ci sono all'istante $t$. Ora, tu sai che il tasso di crescita dei batteri (se ti piace di più puoi dire la velocità con cui la colonia di batteri cresce) è proporzionale al numero di batteri. Ora, il "tasso di crescita" o la "velocità" è eminentemente - tradotta in termini matematici - la funzione derivata prima, cioè $y'(t)$.
Essa è direttamente proporzionale alla funzione stessa, quindi $y'(t)=ky(t)$. E questa è la tua equazione differenziale. Mi segui fin qui?
Spero di averti chiarito il tuo dubbio. A questo punto basta solo imporre la condizione al contorno e hai il tuo bel problema di Cauchy.
Fammi sapere se è chiaro o se ci sono dubbi.
A presto,
Paolo
Sia $y(t)$ una funzione del tempo che ti dice quanti batteri ci sono all'istante $t$. Ora, tu sai che il tasso di crescita dei batteri (se ti piace di più puoi dire la velocità con cui la colonia di batteri cresce) è proporzionale al numero di batteri. Ora, il "tasso di crescita" o la "velocità" è eminentemente - tradotta in termini matematici - la funzione derivata prima, cioè $y'(t)$.
Essa è direttamente proporzionale alla funzione stessa, quindi $y'(t)=ky(t)$. E questa è la tua equazione differenziale. Mi segui fin qui?
Spero di averti chiarito il tuo dubbio. A questo punto basta solo imporre la condizione al contorno e hai il tuo bel problema di Cauchy.
Fammi sapere se è chiaro o se ci sono dubbi.
A presto,
Paolo
la velocita di accrescimento è $y'(t)$ e la quantità dei batteri nel tempo è $ky(t)$
ma il fatto di egualire i membri nn mi è ancora del tutto chiaro
ma il fatto di egualire i membri nn mi è ancora del tutto chiaro
Scusami, ma non ho capito.
Sei d'accordo - dici - sul fatto che la velocità di accrescimento è $y'(t)$. Ora, il testo del problema ti dice che la crescita è proporzionale (in effetti, è leggermente ambiguo detto così e potrebbe dare adito a dubbi: in tal caso prova a modificare il testo che hai riportato nel primo post): quindi y'(t)=ky(t) dove $k$ è una generica costante.
Tieni presente che un modello molto simile a questo lo puoi costruire quando parli di decadimento radioattivo o anche nello studio dell'andamento demografico di "colonie"... umane. In tal caso la situazione è leggermente diversa, perchè supponi di avere un tasso di natalità ma anche uno di mortalità (purtroppo).
Colgo l'occasione anche per ringraziarti del tuo post riguardo al libro di TdN. Grazie.
Spero di essermi chiarito. Se hai dubbi, fammi sapere.
Grazie e a presto.
Pol
Sei d'accordo - dici - sul fatto che la velocità di accrescimento è $y'(t)$. Ora, il testo del problema ti dice che la crescita è proporzionale (in effetti, è leggermente ambiguo detto così e potrebbe dare adito a dubbi: in tal caso prova a modificare il testo che hai riportato nel primo post): quindi y'(t)=ky(t) dove $k$ è una generica costante.
Tieni presente che un modello molto simile a questo lo puoi costruire quando parli di decadimento radioattivo o anche nello studio dell'andamento demografico di "colonie"... umane. In tal caso la situazione è leggermente diversa, perchè supponi di avere un tasso di natalità ma anche uno di mortalità (purtroppo).
Colgo l'occasione anche per ringraziarti del tuo post riguardo al libro di TdN. Grazie.
Spero di essermi chiarito. Se hai dubbi, fammi sapere.
Grazie e a presto.
Pol
la $y'(t)$ rappresenta la velocità di crescita....e fin qui dovrebbe essere chiaro
In che modo cresce?..."proporzionalmente" alla quantità di batteri (che rappresenti con $y(t)$)
Questo "in che modo" matematicamente puoi descriverlo come un uguale (=)
quindi
$y'(t)=ky(t)$
In che modo cresce?..."proporzionalmente" alla quantità di batteri (che rappresenti con $y(t)$)
Questo "in che modo" matematicamente puoi descriverlo come un uguale (=)
quindi
$y'(t)=ky(t)$
ok.
Se non chiedo troppo posso vedere lo svolgimento del seguente, che è moto similie a quello di prima.
Una sostanza radioattiva decade in modo proporzionale al quadrato della quantità presente.
In quanto tempo si dimezza?
In quanto si estingue?
Se non chiedo troppo posso vedere lo svolgimento del seguente, che è moto similie a quello di prima.
Una sostanza radioattiva decade in modo proporzionale al quadrato della quantità presente.
In quanto tempo si dimezza?
In quanto si estingue?
Allora... sia $y(t)$ la funzione del tempo $t$ che dice la quantità di sostanza radioattiva presente in quel dato istante. Detto $\Deltat$ una generica variazione di tempo si ha che
$y(t+\Deltat)=y(t)-\Deltatky(t)$ (1)
cioè la quantità di sostanza all’istante $t+\Deltat$ è uguale alla sostanza iniziale meno (la sostanza diminuisce) tale valore moltiplicato per un’opportuna costante di proporzionalità (in ciò la somiglianza con quello di prima) ancora per la variazione di tempo. Detto un po’ meglio: $\Deltatky(t)$ rappresenta di fatto la ‘perdita’ di sostanza.
Ora, dividendo ambo i membri della (1) per $\Deltat$ si ricava
$(y(t+\Deltat)-y(t))/(\Deltat)=-ky(t)$
Prendendo il limite per $\Deltat->0$
$lim_(\Deltat->0)(y(t+\Deltat)-y(t))/(\Deltat)=-ky(t)$
Nell’espressione a primo membro si può scorgere il limite del rapporto incrementale, cioè la derivata prima:
$y’(t)=-ky(t)$
Ecco un’equazione del tutto simile a quella data. Risolvila e dopo aver fatto ciò poniti qualche domanda sul suo integrale generale (che posso già “svelartelo”, sarà sicuramente una funzione esponenziale): in che istante $t$ ottengo $y_0/2$ (cioè la metà della sostanza iniziale)? Tale tempo viene chiamato tempo di dimezzamento.
Sai che per qualsiasi cosa sono qui. Stammi bene e buono studio.
Paolo
$y(t+\Deltat)=y(t)-\Deltatky(t)$ (1)
cioè la quantità di sostanza all’istante $t+\Deltat$ è uguale alla sostanza iniziale meno (la sostanza diminuisce) tale valore moltiplicato per un’opportuna costante di proporzionalità (in ciò la somiglianza con quello di prima) ancora per la variazione di tempo. Detto un po’ meglio: $\Deltatky(t)$ rappresenta di fatto la ‘perdita’ di sostanza.
Ora, dividendo ambo i membri della (1) per $\Deltat$ si ricava
$(y(t+\Deltat)-y(t))/(\Deltat)=-ky(t)$
Prendendo il limite per $\Deltat->0$
$lim_(\Deltat->0)(y(t+\Deltat)-y(t))/(\Deltat)=-ky(t)$
Nell’espressione a primo membro si può scorgere il limite del rapporto incrementale, cioè la derivata prima:
$y’(t)=-ky(t)$
Ecco un’equazione del tutto simile a quella data. Risolvila e dopo aver fatto ciò poniti qualche domanda sul suo integrale generale (che posso già “svelartelo”, sarà sicuramente una funzione esponenziale): in che istante $t$ ottengo $y_0/2$ (cioè la metà della sostanza iniziale)? Tale tempo viene chiamato tempo di dimezzamento.
Sai che per qualsiasi cosa sono qui. Stammi bene e buono studio.
Paolo
ok ci provo e poti ti chiedo se va bene. Una cosa. Ho inziato da poco le equazioni differenziali ho una curiosità in generale quali sono quelle non lineari? quelle in cui la y nn è esplicita o quelle in cui ci sono le derivate di più variabili indipendenti?
quelle della forma $y'(x)=f(x)y$ e questa è di primo ordine...
mi chiedo se Paolo90 è del 90???
mi chiedo se Paolo90 è del 90???
"ELWOOD":
mi chiedo se Paolo90 è del 90???
Sì, sono proprio un 'piccolino' del 1990 (peraltro, sono nato a fine anno... quindi i 18 sono ancora lontani
). 
Amo l'Analisi matematica e soprattutto la teoria delle equazioni differenziali, su cui sto scrivendo ormai da circa un anno, - diciamo così - un libro. Sono praticamente un autodidatta (la passione per la Matematica è esplosa di fatto al primo anno di liceo) e mentre in classe la prof. spiegava monomi e polinomi, a casa mi studiavo integrali e derivate.
Ho collaborato ultimamente al numero 5 di matematicamente.it magazine, con un articolo proprio sul rapporto tra i modelli differenziali e i campi vettoriali. Se siete interessati [url=http://www.matematicamente.it/il_magazine/numero_5:_gennaio_2008/66._teoria_fisica_dei_campi_vettoriali_ed_equazioni_differenziali_200801132605/]guardate qui.[/url]
squalllionheart, tutto bene? Mi raccomando: qualsiasi dubbio siamo qua. Posso garantirti - fidati di me - che la parte che ti stai apprestando a studiare è davvero una delle più affascinanti di quel vasto, vastissimo universo chiamato Matematica...
Statemi bene,
vostro Paolino '90
P.S. @ squalllionheart
A un certo punto scrivi:
[...] quelle in le derivate sono di più variabili indipendenti.
Bene, se ho capito che cosa vuoi dire, le equazioni in cui l'incognita è una funzione di più variabili (e quindi compaiono le sue derivate parziali ennesime) si chiamano equazioni differenziali alle derivate parziali (abbr. PDE).
Ciao.
Paolo
"Paolo90":
Sì, sono proprio un 'piccolino' del 1990 (peraltro, sono nato a fine anno... quindi i 18 sono ancora lontani
Amo l'Analisi matematica e soprattutto la teoria delle equazioni differenziali, su cui sto scrivendo ormai da circa un anno, - diciamo così - un libro. Sono praticamente un autodidatta (la passione per la Matematica è esplosa di fatto al primo anno di liceo) e mentre in classe la prof. spiegava monomi e polinomi, a casa mi studiavo integrali e derivate.
Ho collaborato ultimamente al numero 5 di matematicamente.it magazine, con un articolo proprio sul rapporto tra i modelli differenziali e i campi vettoriali.....
Sei un grande allora!!!!
...sono proprio senza parole!
fammi sapere quando scoverai il prossimo teorema
"ELWOOD":
Sei un grande allora!!!!
...sono proprio senza parole!
fammi sapere quando scoverai il prossimo teorema
Ti ringrazio molto.... davvero, sono lusingato dai tuoi complimenti. Sono proprio felice di far parte di questa mitica, grande, unica e inimitabile comunità.
Grazie davvero. Ciao e grazie ancora.
Alla prossima.
Paolo
davvero, ho letto il tuo articolo e non avrei mai creduto che un ragazzo della tua età (la stessa di mia sorella...) fosse in grado di scrivere delle cose del genere.
Anche a me hanno sempre affascinato le ED....hanno qualcosa di mistico e "futuristico" perchè sono in grado di spiegare qualsiasi fenomeno e la sua evoluzione....
Adesso so da chi andare se avrò qualche dubbio o curiosità a riguardo!
in bocca al lupo per i numerosi traguardi che sicuramente raggiungerai.
Anche a me hanno sempre affascinato le ED....hanno qualcosa di mistico e "futuristico" perchè sono in grado di spiegare qualsiasi fenomeno e la sua evoluzione....
Adesso so da chi andare se avrò qualche dubbio o curiosità a riguardo!
in bocca al lupo per i numerosi traguardi che sicuramente raggiungerai.
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