Equazioni differenziali

[Lammah]

Salve a tutti... sono nuovo e mi servirebbe una mano per risolvere questa simpatica equazione:

$x''(t) - 4x'(t) + 4x(t) = t + e^t$

Riesco benissimo a trovare le soluzioni per l'equazione omogenea, ma la soluzione particolare da sommare a quella precedentemente trovata non so come trovarla.

Procedendo come detto, pongo $x''=lambda^2, x'=lambda$ e il resto è un coefficiente... in sostanza:

$lambda^2 - 4lambda + 4 = 0$ e le 2 soluzioni sono: 2 e 2 chiaramente

ora ho le 2 lambda dell'equazione omogenea che vanno a finire nelle soluzioni...

e quelle dell'equazione non omogenea come le trovo?

grazie per l'eventuale aiuto

[_luca.barletta]

io la cercherei nella forma $At+B+Ce^t$

[Lammah]

ciao grazie per la risposta...
esattamente come procederesti?
sono in panne...

[_luca.barletta]

$hatx(t)=At+B+Ce^t$, calcoli $hatx'(t)$ e $hatx''(t)$ e sostituisci nell'equaz. differenziale, poi applichi il principio di identità per determinare A,B,C.

[Lammah]

mmh ok grazie ci provo

[_nicola de rosa]

"Lammah":Salve a tutti... sono nuovo e mi servirebbe una mano per risolvere questa simpatica equazione:

$x''(t) - 4x'(t) + 4x(t) = t + e^t$

Riesco benissimo a trovare le soluzioni per l'equazione omogenea, ma la soluzione particolare da sommare a quella precedentemente trovata non so come trovarla.

Procedendo come detto, pongo $x''=lambda^2, x'=lambda$ e il resto è un coefficiente... in sostanza:

$lambda^2 - 4lambda + 4 = 0$ e le 2 soluzioni sono: 2 e 2 chiaramente

ora ho le 2 lambda dell'equazione omogenea che vanno a finire nelle soluzioni...

e quelle dell'equazione non omogenea come le trovo?

grazie per l'eventuale aiuto

ricorda che vale la proprietà di linearità, per cui quando devi calcolare l'integrale particolare puoi calcolare l'integrale particolare $y_(1p)(t)$ quando hai in ingresso la funzione $t$ un cui integrale particolare è $At+B$, e poi calcoli l'altro integrale particolare quando in ingresso c'è $e^t$ un cui integrale particolare $y_(2p)(t)$ è del tipo $C*e^t$ ed alla fine sommi ottenendo la soluzione finale.
$y(t)=y_o(t)+y_(1p)(t)+y_(2p)(t)$ dove $y_o(t)$ è la soluzione dell'omogenea associata.