Equazioni differenziali
Ciao,
di nuovo qui con le equazioni differenziali, in quanto ho ancora dubbi e cose non chiare...
Allora, prendiamo per esempio questa equazione: $y''-2y'+y=e^t$, come soluzione dell'omogenea associata ottengo $Yh(t)=C1e^t+C2te^t$.
Ora devo cercare una soluzione particolare e la cerco del tipo $Yp(t)=at^2e^t$
Giusto?
Prendiamo ora quest'altro esempio: $x''+7x'=3e^(-7t)$, come soluzione dell'omogenea associata ottengo $Xh(t)=C1e^(-7t)+C2$.
Devo ora cercare una soluzione particolare, che NON può essere del tipo $Xp(t)=ate^(-7t)$ giusto? In quanto nell'equazione di partenza mi manca un termine... quindi devo ricercare una soluzione del tipo $Xp(t)=(a+bt)e^(-7t)$. E' corretto quanto ho scritto?
Se nell'equazione di partenza non avessi il termine di primo grado quindi $x''=3e^(-7t)$, dovrei cercare soluzioni particolari del tipo $Xp(t)=(a+bt+ct^2)e^(-7t)$?
Grazie
di nuovo qui con le equazioni differenziali, in quanto ho ancora dubbi e cose non chiare...
Allora, prendiamo per esempio questa equazione: $y''-2y'+y=e^t$, come soluzione dell'omogenea associata ottengo $Yh(t)=C1e^t+C2te^t$.
Ora devo cercare una soluzione particolare e la cerco del tipo $Yp(t)=at^2e^t$
Giusto?
Prendiamo ora quest'altro esempio: $x''+7x'=3e^(-7t)$, come soluzione dell'omogenea associata ottengo $Xh(t)=C1e^(-7t)+C2$.
Devo ora cercare una soluzione particolare, che NON può essere del tipo $Xp(t)=ate^(-7t)$ giusto? In quanto nell'equazione di partenza mi manca un termine... quindi devo ricercare una soluzione del tipo $Xp(t)=(a+bt)e^(-7t)$. E' corretto quanto ho scritto?
Se nell'equazione di partenza non avessi il termine di primo grado quindi $x''=3e^(-7t)$, dovrei cercare soluzioni particolari del tipo $Xp(t)=(a+bt+ct^2)e^(-7t)$?
Grazie
Risposte
$Xp(t)=ate^(-7t)$ questo è giusto
$Xp(t)=(a+bt)e^(-7t)$ la funzione $ae^(-7t)$ è soluzione dell'omogenea , quindi sostituendola nell'equazione differenziale ti si annulla per qualsiasi a
per risolvere questa basta fare l'integrale.
$Xp(t)=(a+bt)e^(-7t)$ la funzione $ae^(-7t)$ è soluzione dell'omogenea , quindi sostituendola nell'equazione differenziale ti si annulla per qualsiasi a
$x''=3e^(-7t)$, dovrei cercare soluzioni particolari del tipo $Xp(t)=(a+bt+ct^2)e^(-7t)$?
per risolvere questa basta fare l'integrale.
Si... ho parecchia confusione in testa...
Quindi il fatto che nell'equazione differenziale manca un termine non conta nulla?
Devo quindi cercare una soluzione particolare del tipo $Xp(t)=ate^(-7t)$
Quindi il fatto che nell'equazione differenziale manca un termine non conta nulla?
Devo quindi cercare una soluzione particolare del tipo $Xp(t)=ate^(-7t)$
Con "manca un termine" forse vuoi dire che ti manca la $x$ nell'equazione... questo ti porta ad avere una soluzione costante dell'omogenea (la C2)
Devi preoccuparti se manca il termine di ordine 0 (in y) in una equazione che abbia come termine non omogeneo un termine del tipo $P(t)^(n)e^{0t}$ ($n$ è il grado del polinomio).
Infatti in quel caso, visto che ti manca il termine di grado 0 in $y$ avrai sempre una soluzione del tipo $Ce^{0t}$, quindi dovrai prendere per forza come soluzione da provare almeno $Y_p(t)=Q^(n+1)(t)e^{0t}$.
Infatti in quel caso, visto che ti manca il termine di grado 0 in $y$ avrai sempre una soluzione del tipo $Ce^{0t}$, quindi dovrai prendere per forza come soluzione da provare almeno $Y_p(t)=Q^(n+1)(t)e^{0t}$.
Bene... la nebbia che ho in testa pian piano sparisce... proviamo con questi esempi.
-$y''-14y'+58y=-2e^(2t)-12$
Ha come soluzione dell'omogenea associata $Yh(t)=C1e^(7t)cos(3t)+C2e^(7t)sin(3t)$
Cerco una soluzione particolare del tipo $Yp(t)=ae^(2t)$
Corretto?
-$y''+5y'=-4t-6$
Ha come soluzione dell'omogenea associata $Yh(t)=C1+C2e^(-5t)$
Cerco una soluzione particolare del tipo $Yp(t)=a+bt+ct^2$
Corretto? Se in questo caso nell'equazione di parteza avessi avuto il termine di ordine zero avrei cercato una soluzione particolare del tipo $Yp(t)=a+bt$
Corretto?
Grazie...
-$y''-14y'+58y=-2e^(2t)-12$
Ha come soluzione dell'omogenea associata $Yh(t)=C1e^(7t)cos(3t)+C2e^(7t)sin(3t)$
Cerco una soluzione particolare del tipo $Yp(t)=ae^(2t)$
Corretto?
-$y''+5y'=-4t-6$
Ha come soluzione dell'omogenea associata $Yh(t)=C1+C2e^(-5t)$
Cerco una soluzione particolare del tipo $Yp(t)=a+bt+ct^2$
Corretto? Se in questo caso nell'equazione di parteza avessi avuto il termine di ordine zero avrei cercato una soluzione particolare del tipo $Yp(t)=a+bt$
Corretto?
Grazie...
Per quanto riguarda la prima equazione, la soluzione particolare ha la forma $Y_P(t)=ae^{2t}+b$, infatti devi considerare sia la parte esponenziale che quella costante...
Poi nella seconda va bene, ma non è detto che se ci fosse stato il termine di ordine 0 allora automaticamente avresti dovuto abbassare il grado della soluzione particolare. Avresti dovuto farlo solo se anche in quest'evenienza non avessi trovato una soluzione nulla risolvendo il polinomio complesso associato...
Poi nella seconda va bene, ma non è detto che se ci fosse stato il termine di ordine 0 allora automaticamente avresti dovuto abbassare il grado della soluzione particolare. Avresti dovuto farlo solo se anche in quest'evenienza non avessi trovato una soluzione nulla risolvendo il polinomio complesso associato...
Ciao,
la prima cosa la immaginavo, infatti senza la $b$ si incontrano dei problemi...
e si anche per il secondo punto, era solo per capire quando preoccuparmi dell'equazione.
Ora provo altri esempi e se ho problemi ti faccio sapere.
Grazie mille!
la prima cosa la immaginavo, infatti senza la $b$ si incontrano dei problemi...
e si anche per il secondo punto, era solo per capire quando preoccuparmi dell'equazione.
Ora provo altri esempi e se ho problemi ti faccio sapere.
Grazie mille!
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