Equazioni differenziali

[enigmagame]

Ciao ragazzi
torno con due sistemi di equazioni differenziali su cui non riesco a capire come procedere.
1)${(x'-3x-6y=3t),(y'-x-2y=0):}$
2)${(x'-6x-3y=2t+3),(y'+2x+y=0):}$
Allora per prima cosa mi calcolo un equazione del secondo ordine e quindi ottengo i seguenti sistemi:
1)${(y''-5y'=3t),(x=y'-2y):}$
2)${(y''-6x-3y=-4t-6),(x=(-y'-y)/2):}$
Dopo alcuni calcoli trovo le soluzioni dell'omogenea associata a ciascuno dei due sistemi che sono esattamente:
1)$Yh(t)=C1e^(5t)+C2$
2)$Yh(t)=C1e^(5t)+C2$
...si tralaltro sono uguali...
Ora non riesco più ad andare avanti, ossia a trovare una soluzione particolare, cosa che invece faccio subito se come termine non omogeneo ho qualcosa del tipo $e^t, te^t, sin(t), cos(t)$...
Allora... nel primo esercizio ho un termine non omogeno del tipo $te^(0t)$ giusto? quindi la mia soluzione particolare deve essere cosi $Y2(t)=(a+bt)e^(0t)=a+bt$? Ma poi non riesco più a procedere... non mi tornano i conti...
E nel secondo esercizio?
Grazie mille

[cavallipurosangue]

Nel primo facendo così ti viene $b=-3/5t$ con a costante qualsiasi che puoi tranquillamente fondere con $c_1$

[enigmagame]

Ok... quindi la soluzione completa del primo sistema sarebbe $y(t)=C1e^(5t)+C2-3/5t^2$ giusto?
Per quanto riguarda il secondo sistema, oltre all'esponenziale come termine non omogeneo ho un $-6$, cosa implica?

[cavallipurosangue]

No quella non è la soluzione, io ti facevo vedere che non poteva tornate, ma mi sono espresso male...

[enigmagame]

An, scusa...
Allora come devo procedere? Proprio non riesco a capire.

[cavallipurosangue]

Hai un termine non omogeneo di primo grado, però ti manca al primo membro il termine di primo ordine, quindi affinche tu abbia almeno un termine dello stesso grado del termine non omogeneo, quando vai a provare la soluzione particolare, devi prendere soluzioni del tipo: $(at^2+bt+c)$.
Se avessi avuto anche un termine di primo ordine avresti abbassato di un grado.

[enigmagame]

Quindi come soluzione particolare ottengo $-3/10t^2-3/25t+c$ giusto? La c, non potendola calcolare la posso togliere e lasciare come C1 o C2?
Nel secondo esercizio... procedo allo stesso modo giusto? Che cosa mi cambia avendo il $-6$?

[cavallipurosangue]

Beh il ragionamento è esattamente lo stesso, solo che stavolta quando provi le soluzioni tieni in conto anche il -6

[enigmagame]

"cavallipurosangue":Beh il ragionamento è esattamente lo stesso, solo che stavolta quando provi le soluzioni tieni in conto anche il -6

Quindi nel secondo esercizio ottengo questa soluzione particolare: $2/5t^2+34/25t+c$ giusto?
Più tardi posto un ultimo esercizio per vedere se ho compreso tutto.

[cavallipurosangue]

Mi sembra giusto.

[enigmagame]

Perfetto... un ultimo sistema:
${(x'-6x-5y=e^(2t)),(y'+2x-8y=2):}$ dopo opportuni calcoli mi riconduco ad un equazione del secondo ordine
${(y''-14y'+56y=-2e^(2t)-12),(x=(2+8y-y')/2):}$
Avendo il polinomio caratteristico dell'omogenea associata due radici complesse ottengo la seguente soluzione generale:
$C1e^(7t)cos(sqrt(7)t)+C2e^(7t)sin(sqrt(7)t)$
Ora devo trovare la soluzione particolare... è di questo tipo $ae^(2t)$?