Equazioni differenziali
Mentre stavo facendo degli esercizi sulle equazioni differenziali sono saltate fuori quelle del secondo ordine a coefficienti variabili...Ma quali sono? Il libro in mio possesso non le riporta. Riporta quelle a coefficienti costanti.
Tu conosci un libro di Analisi Matematica 2 molto completo per ogni argomento? O sto chiedendo troppo???
Ciao Luca e grazie
Tu conosci un libro di Analisi Matematica 2 molto completo per ogni argomento? O sto chiedendo troppo???
Ciao Luca e grazie
Risposte
Le equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti variabili non hanno un metodo risolutivo standard come quelle a coefficienti costanti; quindi non credo esista un testo di Analisi II che tratti le equazioni di quel tipo nel dettaglio. Se te ne capita una, occorre cercare per altre vie le soluzioni. Resta vero, se l'equazione e' lineare, ovvero del tipo:
y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)
che la soluzione generale si ottiene sommando le soluzioni dell'omogenea ad una soluzione particolare.
Per quanto riguarda la bibliografia, io a Pavia uso l'Adams, ma non e' il massimo. Il Gilardi invece è un testo molto completo.
Pero' ripeto se vuoi approfondire l'argomento equazioni differenziali, purtroppo
non e' noto molto circa la risoluzione esplicita di esse. Quello che e' importante veramente sull'argomento e' il Teorema di esistenza ed unicita' locale di Cauchy. Questo e' il Teorema che "risolve" un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Poi vi sono casi molto molto rari in cui la soluzione si riesce a scrivere. Ma questi casi li trovi solo negli esercizi di un esame universitario di Analisi. In pratica non capita oserei dire mai!
Ciao, Luca.
y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)
che la soluzione generale si ottiene sommando le soluzioni dell'omogenea ad una soluzione particolare.
Per quanto riguarda la bibliografia, io a Pavia uso l'Adams, ma non e' il massimo. Il Gilardi invece è un testo molto completo.
Pero' ripeto se vuoi approfondire l'argomento equazioni differenziali, purtroppo
non e' noto molto circa la risoluzione esplicita di esse. Quello che e' importante veramente sull'argomento e' il Teorema di esistenza ed unicita' locale di Cauchy. Questo e' il Teorema che "risolve" un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Poi vi sono casi molto molto rari in cui la soluzione si riesce a scrivere. Ma questi casi li trovi solo negli esercizi di un esame universitario di Analisi. In pratica non capita oserei dire mai!
Ciao, Luca.
Io per questo esame ho usato il Marcellini Sbordone sia per gli esercizi che per la teoria assieme al Bertsch(solo che questo libro salta degli argomenti ed è più indicato se all'esame si ha questo professore).
Lo Sbordone è più indicato per chi inizia ad avvicinarsi all'Analisi.E' semplice come libro di testo, serve più per farti capire la teoria senza utilizzare un eccessivo formalismo matematico.
Una curiosità: gli integrali tripli sono fondamentali per Fisica I e due? Ti chiedo questo perchè il nostro docente non ha trattato l'integrazione multipla in R^3...Consigli di farmela per conto mio???
Lo Sbordone è più indicato per chi inizia ad avvicinarsi all'Analisi.E' semplice come libro di testo, serve più per farti capire la teoria senza utilizzare un eccessivo formalismo matematico.
Una curiosità: gli integrali tripli sono fondamentali per Fisica I e due? Ti chiedo questo perchè il nostro docente non ha trattato l'integrazione multipla in R^3...Consigli di farmela per conto mio???
Be', il momento di inerzia di un corpo rigido si trova calcolando un integrale di volume, ovvero triplo.
Idem per il baricentro; una volta Fisica I si faceva dopo Analisi I, quindi a digiuno di integrali multipli. Infatti non era richiesto il calcolo di tali grandezze.
Per quanto riguarda Fisica II, credo che sia veramente difficile affrontare lo studio dell'elettrodinamica e dell'ottica senza avere familiarita' con l'Analisi II; soprattutto con il calcolo integrale: integrali di linea, di superficie e di volume. Attenzione! Gli intergrali di linea non sono gli integrali di Analisi I, ne' gli integrali di superficie sono gli integrali doppi.
Bensi' si tratta di 3 integrazioni per funzioni di 3 variabili reali, a valori reali (campo elettrico, magnetico, ecc...). Nell'integrale di linea la funzione e' integrata lungo una curva; nel secondo caso la funzione e' integrata su una superficie, e nel terzo caso, la funzione e' integrata su un volume, e questo e' il classico integrale triplo.
Devi prendere familiarita' con questi integrali, anche se vedrai che in Fisica il calcolo di essi e' un po' diverso da come si calcolano in Matematica. Per il calcolo degli integrali di linea o superficie userai una formula chiamata "Formula dell'area", che combinata con il Teorema del cambiamento di variabile, ti da' i metodi di integrazione di linea e superficie. Poi, nella pratica, poco userai tali metodi... i fisici fanno gli integrali un po' a mano... trattando i dxdydz come trattini infinitesimi, ecc...
Comunque riassumendo ti consiglio di fare per bene integrali doppi (gia' fatti ampiamente, dal numero di esercizi che hai mandato al vaglio) e integrali per funzioni di 3 variabili: di linea, di superficie e di volume.
Ciao, Luca.
Idem per il baricentro; una volta Fisica I si faceva dopo Analisi I, quindi a digiuno di integrali multipli. Infatti non era richiesto il calcolo di tali grandezze.
Per quanto riguarda Fisica II, credo che sia veramente difficile affrontare lo studio dell'elettrodinamica e dell'ottica senza avere familiarita' con l'Analisi II; soprattutto con il calcolo integrale: integrali di linea, di superficie e di volume. Attenzione! Gli intergrali di linea non sono gli integrali di Analisi I, ne' gli integrali di superficie sono gli integrali doppi.
Bensi' si tratta di 3 integrazioni per funzioni di 3 variabili reali, a valori reali (campo elettrico, magnetico, ecc...). Nell'integrale di linea la funzione e' integrata lungo una curva; nel secondo caso la funzione e' integrata su una superficie, e nel terzo caso, la funzione e' integrata su un volume, e questo e' il classico integrale triplo.
Devi prendere familiarita' con questi integrali, anche se vedrai che in Fisica il calcolo di essi e' un po' diverso da come si calcolano in Matematica. Per il calcolo degli integrali di linea o superficie userai una formula chiamata "Formula dell'area", che combinata con il Teorema del cambiamento di variabile, ti da' i metodi di integrazione di linea e superficie. Poi, nella pratica, poco userai tali metodi... i fisici fanno gli integrali un po' a mano... trattando i dxdydz come trattini infinitesimi, ecc...
Comunque riassumendo ti consiglio di fare per bene integrali doppi (gia' fatti ampiamente, dal numero di esercizi che hai mandato al vaglio) e integrali per funzioni di 3 variabili: di linea, di superficie e di volume.
Ciao, Luca.
Ciao Luca e grazie dei consigli.
E' proprio vero:generalmente i professori che mirano a fare un compito semplificato per passare l'esame non forniscono delle basi sufficienti per gli esami successivi.
Ti confesso che ho cominciato a vedere per conto mio gli integrali tripli,di superficie e di linea e ho notato che bisogna avere delle buone conoscenze di geometria analitica. Voglio rispolverarmele per bene.
Generalmente quando si affronta un integrale triplo bisogna fare due grafici: uno sulla proiezione del solido sul piano xy (per esempio) e
uno sulla figura solida stessa.
Bisogna averci pure una buona memoria spaziale per fare questi integrali o sbaglio?[;)]
E' proprio vero:generalmente i professori che mirano a fare un compito semplificato per passare l'esame non forniscono delle basi sufficienti per gli esami successivi.
Ti confesso che ho cominciato a vedere per conto mio gli integrali tripli,di superficie e di linea e ho notato che bisogna avere delle buone conoscenze di geometria analitica. Voglio rispolverarmele per bene.
Generalmente quando si affronta un integrale triplo bisogna fare due grafici: uno sulla proiezione del solido sul piano xy (per esempio) e
uno sulla figura solida stessa.
Bisogna averci pure una buona memoria spaziale per fare questi integrali o sbaglio?[;)]
Gia', purtroppo non sempre pero' il dominio si riesce a immaginare. Finche' e' una quadrica ce la fai, ma se comincia ad essere qualcosa di strano, sei fritto!
Un consiglio: non puntare molto sul disegno. Cerca invece di operare algebricamente sulle equazioni del dominio in modo da scrivere il dominio in forma normale, almeno per una prima riduzione. Poi l'integrale diventa doppio, e li' puoi disegnare senza problemi.
Ciao, Luca.
Un consiglio: non puntare molto sul disegno. Cerca invece di operare algebricamente sulle equazioni del dominio in modo da scrivere il dominio in forma normale, almeno per una prima riduzione. Poi l'integrale diventa doppio, e li' puoi disegnare senza problemi.
Ciao, Luca.
Ehh io lo dico sempre: per fare bene una facoltà tecnico scientifica bisognerebbe avere sviluppato correttamente anche il lato destro del cervello. E' davvero vergognoso che nella scuola non si incoraggi lo studio dell'arte e della musica quando è risaputo che quest'ultime potenziano incredibilmente la memoria.Non a caso i ragazzi cresciuti con l'impostazione musicale sono più intelligenti.
La musica e l'arte sono accessibili a tutti non è vero che è solo per pochi eletti: è una questione di pratica.
Confesso di stare coltivando nel tempo libero lo studio della musica e del disegno:credo che mi aiuterà anche in matematica;).
Ciao Luca e grazie.
La musica e l'arte sono accessibili a tutti non è vero che è solo per pochi eletti: è una questione di pratica.
Confesso di stare coltivando nel tempo libero lo studio della musica e del disegno:credo che mi aiuterà anche in matematica;).
Ciao Luca e grazie.
E tu come andavi in musica?
Luca.
Luca.
Luca io avevo lasciato stare gli studi musicali perchè un insegnante che avevo alle medie mi disse che non ero portato per la musica.Ho fatto UN GROSSO errore perchè a quest'ora avrei potuto godere di molti benefici.
Innanzitutto chi cresce con l'impostazione musicale ha gli emisferi del cervello più bilanciati. Il corpo calloso (un fascio di nervi che connette entrambi i lati del cervello) è più grande nei musicisti, l'Area di Broca (un importante parte del cervello dedicata alle funzioni linguistiche) è più espansa nelle persone che suonano. Queste caratteristiche di base permettono a chi è cresciuto con questo tipo di studi di apprendere più velocemente e di essere logico e creativo allo stesso tempo.
lo studio della geometria astratta è difficile? tutto poteva essere più semplice con un buon background artistico alle spalle!
Recenti studi effettuati in America hanno portato alla luce fatti molto interessanti:le persone che hanno un'elevata capacità visuale spaziale (capacità connessa con le abilità artistiche) sono fortissime in geometria. Queste persone riescono a far ruotare gli oggetti nella loro testa e ragionano in tre dimensioni! Generalmente questo tipo di persone vanno a nozze in un corso di Laurea in Ingegneria o Architettura.
Innanzitutto chi cresce con l'impostazione musicale ha gli emisferi del cervello più bilanciati. Il corpo calloso (un fascio di nervi che connette entrambi i lati del cervello) è più grande nei musicisti, l'Area di Broca (un importante parte del cervello dedicata alle funzioni linguistiche) è più espansa nelle persone che suonano. Queste caratteristiche di base permettono a chi è cresciuto con questo tipo di studi di apprendere più velocemente e di essere logico e creativo allo stesso tempo.
lo studio della geometria astratta è difficile? tutto poteva essere più semplice con un buon background artistico alle spalle!
Recenti studi effettuati in America hanno portato alla luce fatti molto interessanti:le persone che hanno un'elevata capacità visuale spaziale (capacità connessa con le abilità artistiche) sono fortissime in geometria. Queste persone riescono a far ruotare gli oggetti nella loro testa e ragionano in tre dimensioni! Generalmente questo tipo di persone vanno a nozze in un corso di Laurea in Ingegneria o Architettura.
E' vero. Matematica e musica hanno profondi punti di contatto che non si esauriscono alla semplice aritmetica delle frazioni ...
Vi consiglio Mozart, fa miracoli nell'aprire la mente ...
Ben ritrovati.
Arrigo.
ps. (anche se rischio di andare fuori tema) volevo dirvi che ho iniziato a leggere un testo di "analisi di secondo livello" ed è una continua sorpresa. Non sapevo che il calcolo differenziale si potesse estendere alle funzioni fra spazi normati !!! E' come entrare nel mondo della dodecafonia dove la tonalità tradizionale è solo un caso particolare ...
Vi consiglio Mozart, fa miracoli nell'aprire la mente ...
Ben ritrovati.
Arrigo.
ps. (anche se rischio di andare fuori tema) volevo dirvi che ho iniziato a leggere un testo di "analisi di secondo livello" ed è una continua sorpresa. Non sapevo che il calcolo differenziale si potesse estendere alle funzioni fra spazi normati !!! E' come entrare nel mondo della dodecafonia dove la tonalità tradizionale è solo un caso particolare ...
Caro arriama, ti diro' di piu': recenti studi hanno coinvolto derivate anche in spazi metrici! Non si finisce mai di stupirsi....
Luca.
Luca.
E' il bello della matematica, un viaggio nella "ragione" che non ha fine ...
La prima cosa che mi ha stupito, vedendo l'estensione del calcolo differenziale (applicato alle usuali funzioni da R^m ad R^n) alle funzioni da X ad Y (dove X ed Y sono due spazi normati qualunque, in particolare di Banach), è la definizone di differenziale (o derivata) di Frechet.
Si tratta di un operatore lineare definito in modo analogo a come si fa nelle funzioni ordinarie da R^m ad R^n che, fra le varie proprietà, ha quella di annullarsi in un punto di massimo o minimo relativo (nel caso di funzionali reali da X ad R).
Questo ha importanti applicazioni nel calcolo variazionale (il tuo "territorio", Luca).
Il classico problema di Eulero, per esempio, corrisponde a minimizzare un funzionale reale che è il solito integrale :
Int[a,b](L(t,q(t),q'(t)))dt .
Orbene, questo funzionale può essere considerato come una applicazione dallo spazio normato delle funzioni q(t) ad R il cui differenziale di Frechet, nel caso di estremale, deve annullarsi.
Considerando poi che, in meccanica classica (che è alla base di tutta la fisica, anche la relativistica e la quantistica) si parte dal principio di minima azione che non è altro, matematicamente, che un problema di Eulero (dove L è la lagrangiana del sistema e q(t) sono le funzioni orarie del moto), abbiamo un'altra volta una fusione fra matematica e fisica che ha del meraviglioso ...
Ciao. Arrigo.
ps. chiedo venia se ho detto qualche strafalcione. Sono appena all'inizio di questi studi.
La prima cosa che mi ha stupito, vedendo l'estensione del calcolo differenziale (applicato alle usuali funzioni da R^m ad R^n) alle funzioni da X ad Y (dove X ed Y sono due spazi normati qualunque, in particolare di Banach), è la definizone di differenziale (o derivata) di Frechet.
Si tratta di un operatore lineare definito in modo analogo a come si fa nelle funzioni ordinarie da R^m ad R^n che, fra le varie proprietà, ha quella di annullarsi in un punto di massimo o minimo relativo (nel caso di funzionali reali da X ad R).
Questo ha importanti applicazioni nel calcolo variazionale (il tuo "territorio", Luca).
Il classico problema di Eulero, per esempio, corrisponde a minimizzare un funzionale reale che è il solito integrale :
Int[a,b](L(t,q(t),q'(t)))dt .
Orbene, questo funzionale può essere considerato come una applicazione dallo spazio normato delle funzioni q(t) ad R il cui differenziale di Frechet, nel caso di estremale, deve annullarsi.
Considerando poi che, in meccanica classica (che è alla base di tutta la fisica, anche la relativistica e la quantistica) si parte dal principio di minima azione che non è altro, matematicamente, che un problema di Eulero (dove L è la lagrangiana del sistema e q(t) sono le funzioni orarie del moto), abbiamo un'altra volta una fusione fra matematica e fisica che ha del meraviglioso ...
Ciao. Arrigo.
ps. chiedo venia se ho detto qualche strafalcione. Sono appena all'inizio di questi studi.
Solo una precisazione: purtroppo il differenziale di Frechet per funzionali e' troppo forte. Infatti solo funzionali soggetti a condizioni particolari che si verificano in pratica poche volte, sono F-differenziabili.
E poi, anche se uno avesse regolarita' alla Frechet, e' comunque al punto di partenza, poiche' si deve risolvere l'equazione di Eulero!
Invece, oggi sono usati i metodi diretti, ovvero si cerca di minimizzare i funzionali "direttamente", senza passare attraverso l'Equazione di Eulero.
Luca.
E poi, anche se uno avesse regolarita' alla Frechet, e' comunque al punto di partenza, poiche' si deve risolvere l'equazione di Eulero!
Invece, oggi sono usati i metodi diretti, ovvero si cerca di minimizzare i funzionali "direttamente", senza passare attraverso l'Equazione di Eulero.
Luca.
Fantastico !!! Vuoi dire risolvere (approssimando, suppongo) un problema funzionale di minimo senza passare dalla relativa equazione differenziale che di esso ne costituisce una condizione necessaria ?
Non ho mai visto fare così. Si trova la soluzione "maneggiando" direttamente l'equazione variazionale (chiamiamola così) ? Si passa per caso da opportune equazioni integrali (più facilmente approssimabili) ?
Ciao.
Non ho mai visto fare così. Si trova la soluzione "maneggiando" direttamente l'equazione variazionale (chiamiamola così) ? Si passa per caso da opportune equazioni integrali (più facilmente approssimabili) ?
Ciao.
L'idea dei metodi diretti nel Calcolo delle variazioni risale a Riemann; sostanzialmente si cerca di scrivere il Teorema di Weierstrass in dimensione infinita: una funzione continua su un compatto ha minimo (e massimo). Di per se' il Teorema e' ancora vero, ed e' sorprendente come la classica dimostrazione fatta con le successioni si possa riscrivere tale e quale in dimensione infinita. Per applicare il Teoream, il punto delicato e' questo: cercare di dare allo spazio funzionale una topologia opportuna, che renda continuo (anzi "semicontinuo inferiormene" e' l'ipotesi giusta) il funzionale, ed allo stesso tempo fornisca "compattezza" per le successioni limitate, ovvero da una successione limitata (ad esempio quella minimizzante) devo poter estrarre una successione convergente. Il giusto compromesso si ha con l'introduzione delle cosidette topologie deboli, che hanno meno aperti della topologia "forte" della norma, ma hanno piu' compatti. Da qui e' nata l'esigenza di dare struttura agli spazi funzionali, e dunque tutta la problematica dell'Analisi funzionale.
Mi rendo conto che quello che ho scritto e' approssimativo e non semplicissimo ad una prima lettura, ma dal momento che sto scrivendo ad una persona scientificamente matura, spero possa essere spunto di approfondimenti.
Ciao, Luca.
Mi rendo conto che quello che ho scritto e' approssimativo e non semplicissimo ad una prima lettura, ma dal momento che sto scrivendo ad una persona scientificamente matura, spero possa essere spunto di approfondimenti.
Ciao, Luca.
Grazie Luca. Credo di avere intuito (ne avevi già parlato il altri tuoi sempre preziosi post).
Siccome ho sempre desiderato approfondire il calcolo variazionale (e non l'ho ancora fatto), saresti così gentile da segnalarmi alcuni testi ? Non li leggerò subito perchè ne ho altri (e molto tosti) in scaletta, ma intanto comincio ad organizzarmi. Grazie.
Una considerazione di carattere generale (ogni tanti mi piace fare il punto della mia "situazione mentale" ...).
Credo di avere capito che i due fondamentali pilastri della matematica sono la teoria degli insiemi e la topologia (fra l'altro intimamente legati fra loro). Non si può prescindere da essi se si vuole capire cosa sia veramente la matematica.
Mi viene allora spontanea una domanda : la scuola italiana è oggi su questa "lunghezza d'onda" ? Ai miei tempi assolutamente no. Spero lo sia ora.
Ciao. Arrigo.
Siccome ho sempre desiderato approfondire il calcolo variazionale (e non l'ho ancora fatto), saresti così gentile da segnalarmi alcuni testi ? Non li leggerò subito perchè ne ho altri (e molto tosti) in scaletta, ma intanto comincio ad organizzarmi. Grazie.
Una considerazione di carattere generale (ogni tanti mi piace fare il punto della mia "situazione mentale" ...).
Credo di avere capito che i due fondamentali pilastri della matematica sono la teoria degli insiemi e la topologia (fra l'altro intimamente legati fra loro). Non si può prescindere da essi se si vuole capire cosa sia veramente la matematica.
Mi viene allora spontanea una domanda : la scuola italiana è oggi su questa "lunghezza d'onda" ? Ai miei tempi assolutamente no. Spero lo sia ora.
Ciao. Arrigo.
Rispondo subito no alla domanda sulla Scuola; purtroppo la Scuola italiana, almeno quella di Analisi non e' molto sulla topologia. In realta' e' doveroso che lo diventi... la topologia costituisce il fondamento concettuale dell'Analisi.
Per quanto concerne la bibliografia richiesta, ti segnalo subito un testo che forse non ti sara' facile trovarlo (io l'ho comprato a Pechino! l'ho trovato allo stand della Cambridge university, in occasione del congresso internazionale dei matematici 2002; qui in Italia non riuscivano a farmelo arrivare). Te lo segnalo perche' e' breve, abbastanza completo, e di facile lettura.
Jurgen Jost-Xianqing Li-Jost, Calculus of variations, Cambridge University Press.
Poi c'e' il famoso Giaquinta, Calculus of variations, I e II, Springer.
Sono due volumoni, ma trattano, a differenza del primo, solamente i metodi classici, ovvero quelli in cui si parte dall'equazione di Eulero, e cosi' via...
Ti segnalo poi, il testo classico che normalmente viene riferito per i metodi diretti:
Bernard Dacorogna, Direct method of calculus of variations, Springer. Molto tecnico ma esauriente.
Ciao, Luca.
Per quanto concerne la bibliografia richiesta, ti segnalo subito un testo che forse non ti sara' facile trovarlo (io l'ho comprato a Pechino! l'ho trovato allo stand della Cambridge university, in occasione del congresso internazionale dei matematici 2002; qui in Italia non riuscivano a farmelo arrivare). Te lo segnalo perche' e' breve, abbastanza completo, e di facile lettura.
Jurgen Jost-Xianqing Li-Jost, Calculus of variations, Cambridge University Press.
Poi c'e' il famoso Giaquinta, Calculus of variations, I e II, Springer.
Sono due volumoni, ma trattano, a differenza del primo, solamente i metodi classici, ovvero quelli in cui si parte dall'equazione di Eulero, e cosi' via...
Ti segnalo poi, il testo classico che normalmente viene riferito per i metodi diretti:
Bernard Dacorogna, Direct method of calculus of variations, Springer. Molto tecnico ma esauriente.
Ciao, Luca.
Grazie Luca !!!
Lo Jurgen Jost-Xianqing Li-Jost è disponibile presso :
http://www.amazon.co.uk
La amazon.co.uk (filiale inglese della Amazon americana) è fantastica, ci trovi praticamente tutto, poi, comprando in Inghilterra, risparmi molte spese postali (però non so se il cambio euro-sterlina è vantaggioso).
Vedo con piacere che Jurgen Jost lavora anche alla teoria delle stringhe.
Ciao. Arrigo.
ps. mi spiace molto per la scuola italiana. Così ci distacchiamo sempre più dalla ricerca di punta e diventiamo "satelliti" altrui
Lo Jurgen Jost-Xianqing Li-Jost è disponibile presso :
http://www.amazon.co.uk
La amazon.co.uk (filiale inglese della Amazon americana) è fantastica, ci trovi praticamente tutto, poi, comprando in Inghilterra, risparmi molte spese postali (però non so se il cambio euro-sterlina è vantaggioso).
Vedo con piacere che Jurgen Jost lavora anche alla teoria delle stringhe.
Ciao. Arrigo.
ps. mi spiace molto per la scuola italiana. Così ci distacchiamo sempre più dalla ricerca di punta e diventiamo "satelliti" altrui
Ma la amazon non distribuisce solo in Inghilterra?
Luca.
Luca.
Alcuni anni fa ordinai un libro e loro me lo spedirono in tempi brevissimi e con poche spese di spedizione. Ora non ricordo i particolari ed i prezzi, ma ricordo che fui molto contento del servizio.
Comunque, nel sito si dovrebbero essere tutte le informazioni a riguardo.
Ciao. Arrigo.
Comunque, nel sito si dovrebbero essere tutte le informazioni a riguardo.
Ciao. Arrigo.
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