Equazioni differenziali 2' ordine
CIAO!
vorrei sapere, in una eq. diff. di secondo ordine con coefficienti costanti, una volta trovate le soluzioni dell'eq. caratteristica, come si fa ad ottenere una prima scrittura dell'integrale generale?
GRAZIE MILLE in anticipo!
FURY
vorrei sapere, in una eq. diff. di secondo ordine con coefficienti costanti, una volta trovate le soluzioni dell'eq. caratteristica, come si fa ad ottenere una prima scrittura dell'integrale generale?
GRAZIE MILLE in anticipo!
FURY
Risposte
Siano L1...Lk le radici distinte dell'equazione.
Se l'equazione è omogenea, allora l'insieme delle soluzioni è lo spazio generato da:
P1(x)*e^(L1*x) ... Pk(x)*e^(Lk*x) ,
dove P1...Pk sono polinomi tali che:
deg(Pi)
Saluti,
Woody
Se l'equazione è omogenea, allora l'insieme delle soluzioni è lo spazio generato da:
P1(x)*e^(L1*x) ... Pk(x)*e^(Lk*x) ,
dove P1...Pk sono polinomi tali che:
deg(Pi)
Saluti,
Woody
Woody, non è che mi potresti fare due esempi?!
mi serve solo un esempio per quelle NON omogenee.
nessuno mi può aiutare?
nessuno mi può aiutare?
Ecco un esempio :
si voglia risolvere l'equazione differenziale non omogenea :
y''+ y' -6y = 3x
L'equazione caratteristica della ed. diff.omogenea associata è :
t^2+ t-6 = 0 che ha le radici :
t= -3 ; t= 2.
La soluzione generale della equazione omogenea è dunque :
y = C1*e^(-3x) + C2*e^(2x) con C1, C2 costanti arbitrarie.
Adesso si deve trovare una soluzione particolare della equazione completa ; sfruttando il metodo della somiglianza questa soluzione sarà del tipo : Ax+B , perchè di questo tipo è la funzione a destra del segno di uguale.
Chiamiamo y1 questa funzione , cioè y1 = Ax+B con A,B da determinare .
Sarà : y1' = A ; y1'' = 0 , sostituendo queste espressioni nella equazione iniziale si ha :
0+A-6Ax-6B = 3x da cui :
(3+6A)x +(6B-A) = 0 e per il principio di identità dei polinomi :
3+6A = 0
6B-A = 0
da cui : A= -1/2 , B = -1/12 ; la soluzione particolare sarà allora :
y1 = (-1/2)x-(1/12) e la soluzione generale dell'equazione iniziale :
y = C1*e^(-3x)+C2*e^(2x)-(x/2)-(1/12)
SEO.
Un commento per Fury : attenzione a procedere in un campo sconosciuto senza avere le basi necessarie : prima ti devi impadronire della teoria ( vedi post di Woody, certamente non di immediata comprensione se non hai il necessario background) e poi puoi passare agli esercizi.
Vedi, l'esercizietto può anche essere divertente , ma se non lo poggi su solide basi , poi frana tutto; l'analisi non è un insieme di ricette.....
Camillo
si voglia risolvere l'equazione differenziale non omogenea :
y''+ y' -6y = 3x
L'equazione caratteristica della ed. diff.omogenea associata è :
t^2+ t-6 = 0 che ha le radici :
t= -3 ; t= 2.
La soluzione generale della equazione omogenea è dunque :
y = C1*e^(-3x) + C2*e^(2x) con C1, C2 costanti arbitrarie.
Adesso si deve trovare una soluzione particolare della equazione completa ; sfruttando il metodo della somiglianza questa soluzione sarà del tipo : Ax+B , perchè di questo tipo è la funzione a destra del segno di uguale.
Chiamiamo y1 questa funzione , cioè y1 = Ax+B con A,B da determinare .
Sarà : y1' = A ; y1'' = 0 , sostituendo queste espressioni nella equazione iniziale si ha :
0+A-6Ax-6B = 3x da cui :
(3+6A)x +(6B-A) = 0 e per il principio di identità dei polinomi :
3+6A = 0
6B-A = 0
da cui : A= -1/2 , B = -1/12 ; la soluzione particolare sarà allora :
y1 = (-1/2)x-(1/12) e la soluzione generale dell'equazione iniziale :
y = C1*e^(-3x)+C2*e^(2x)-(x/2)-(1/12)
SEO.
Un commento per Fury : attenzione a procedere in un campo sconosciuto senza avere le basi necessarie : prima ti devi impadronire della teoria ( vedi post di Woody, certamente non di immediata comprensione se non hai il necessario background) e poi puoi passare agli esercizi.
Vedi, l'esercizietto può anche essere divertente , ma se non lo poggi su solide basi , poi frana tutto; l'analisi non è un insieme di ricette.....
Camillo
Grazie Camillo! non è che mi diverto a fare esercizietti che non so fare!
oggi sulla teoria ci sono stato su un casino.... se chiedo chiarimenti
vuol dire che ne ho bisogno! comunque sono gli esercizi che non permettono
alle solide basi di franare, secondo me! [;)]
oggi sulla teoria ci sono stato su un casino.... se chiedo chiarimenti
vuol dire che ne ho bisogno! comunque sono gli esercizi che non permettono
alle solide basi di franare, secondo me! [;)]
Qui trovi un ottimo documento(del prof. Perelli Cippo del Poli) relativo alle equazioni differenziali che copre sia la teoria che l'applicazione (esercizi)in modo da costruire solide fondamenta :
http://web.mate.polimi.it/servizi/websp ... uadiff.pdf
Camillo
http://web.mate.polimi.it/servizi/websp ... uadiff.pdf
Camillo
Grazie mille davvero! mi hai dato una mano enorme!!!!!
GRAZIE! [:)]
GRAZIE! [:)]
E qui troverai l'ottimo eserciziario di Luca su Analisi B con brevi richiami teorici :
http://www.llussardi.it/download/esrcit.MI.pdf
Camillo
http://www.llussardi.it/download/esrcit.MI.pdf
Camillo
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