Equazioni differenziali
Ciao a tutti, ho 2 dubbi su questi 2 esercizi su problemi di Cauchy: apro solo un post, sperando di ricevere però risposta ad entrambe le mie domande
$\{(y'=y/x + cos^2(y/x)),(y(1)=alpha):}$ , con $alpha={0,pi/2,pi}$
per ogni $[a,b] sube (0,+infty)$ $|y/x + cos^2(y/x)|<=|y|/a+ 1=P+Q|y|$ per ogni $x in [a,b]$, per ogni $y in RR$ e fino a qui ho capito: tuttavia poi la soluzione dice che questa proprietà implica che esiste unica la soluzione del problema di Cauchy definita su $(0,+infty)$...Perchè?
io sapevo che una proprietà del genere implicasse solo l'esistenza di una soluzione massimale definita su $(0,+infty)$ ma non l'unicità!
$\{(y'=(2x+x^2-y^2)/(2y)),(y(x)>0):}$ : trovare le soluzioni tangenti per $y>0$ alla circonferenza $x^2+y^2=6$
Non avendo mai trovare eq. differeziali di questo tipo ho trovato online che posso ricondurmi a $e^x(y^2-2x-x^2)d_x + e^x(2y)d_y=0$ dove $e^x$ è un fattore integrante ma ora mi blocco perchè: 1) non so come trovare la soluzione (in rete non ho trovato come si risolvono questo tipo di equazioni); 2) avendo una ipotetica soluzione, per la tangenza non ho capito come dovrei impostare il sistema.
Grazie
$\{(y'=y/x + cos^2(y/x)),(y(1)=alpha):}$ , con $alpha={0,pi/2,pi}$
per ogni $[a,b] sube (0,+infty)$ $|y/x + cos^2(y/x)|<=|y|/a+ 1=P+Q|y|$ per ogni $x in [a,b]$, per ogni $y in RR$ e fino a qui ho capito: tuttavia poi la soluzione dice che questa proprietà implica che esiste unica la soluzione del problema di Cauchy definita su $(0,+infty)$...Perchè?
io sapevo che una proprietà del genere implicasse solo l'esistenza di una soluzione massimale definita su $(0,+infty)$ ma non l'unicità!
$\{(y'=(2x+x^2-y^2)/(2y)),(y(x)>0):}$ : trovare le soluzioni tangenti per $y>0$ alla circonferenza $x^2+y^2=6$
Non avendo mai trovare eq. differeziali di questo tipo ho trovato online che posso ricondurmi a $e^x(y^2-2x-x^2)d_x + e^x(2y)d_y=0$ dove $e^x$ è un fattore integrante ma ora mi blocco perchè: 1) non so come trovare la soluzione (in rete non ho trovato come si risolvono questo tipo di equazioni); 2) avendo una ipotetica soluzione, per la tangenza non ho capito come dovrei impostare il sistema.
Grazie
Risposte
Il primo PdC non ha senso.
Del secondo non si capisce il testo... Linea di frazione messa male?
Del secondo non si capisce il testo... Linea di frazione messa male?
Il primo problema il testo è preso da un esame(quindi penso abbia senso) e chiede al variare di $alpha$ tra quei 3 valori di mostrare che la soluzione è unica e poi di risolverlo(e quello sono riuscito)
Il secondo l'ho sistemato...era un errore di battitura che mi è sfuggito
Il secondo l'ho sistemato...era un errore di battitura che mi è sfuggito
Soprattutto poi del secondo mi interessa capire in generale come si evolve il procedimento dopo aver trovato il fattore integrante !
Grazie
Grazie
"Aletzunny":
Il primo problema il testo è preso da un esame (quindi penso abbia senso)
Cosa succede se infili $x=0$ nella EDO?
Pensi ancora che il problema abbia senso?
"Aletzunny":
Il secondo l'ho sistemato...era un errore di battitura che mi è sfuggito
Ok, dopo vedo... Il tempo di finire una cosa.
Ok si hai ragione, hai perfettamente ragione... è $y(1)=alpha$.... ennesima mia svista!
Per il secondo punto sono disperato...non ho proprio capito come fare... aspetto tranquillamente.
Grazie
Per il secondo punto sono disperato...non ho proprio capito come fare... aspetto tranquillamente.
Grazie
proprio nessuno riesce a darmi una mano?
io i miei tentativi (come da regolamento) li ho messi...ma più di questo non riesco
io i miei tentativi (come da regolamento) li ho messi...ma più di questo non riesco
[xdom="gugo82"]Il thread era già in prima pagina e non c'era bisogno di uppare, tanto più che è vietato farlo prima di 24h dall'inserimento dell'ultimo post (cfr. Regolamento).
Chiudo e riapro tra 24h.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Riapro[/xdom]
Chiudo e riapro tra 24h.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Riapro[/xdom]
"Aletzunny":
$\{(y'=y/x + cos^2(y/x)),(y(1)=alpha):}$ , con $alpha={0,pi/2,pi}$
per ogni $[a,b] sube (0,+infty)$ $|y/x + cos^2(y/x)|<=|y|/a+ 1=P+Q|y|$ per ogni $x in [a,b]$, per ogni $y in RR$ e fino a qui ho capito: tuttavia poi la soluzione dice che questa proprietà implica che esiste unica la soluzione del problema di Cauchy definita su $(0,+infty)$...Perchè?
io sapevo che una proprietà del genere implicasse solo l'esistenza di una soluzione massimale definita su $(0,+infty)$ ma non l'unicità!
L'unicità della soluzione è assicurata (come sempre) dalla lipschitzianità locale del secondo membro rispetto ad $y$ intorno ad ogni punto $(x_0,y_0) in ]0,+oo[ xx RR$.
"Aletzunny":
$\{(y'=(2x+x^2-y^2)/(2y)),(y(x)>0):}$ : trovare le soluzioni tangenti per $y>0$ alla circonferenza $x^2+y^2=6$
Non avendo mai trovare eq. differeziali di questo tipo ho trovato online che posso ricondurmi a $e^x(y^2-2x-x^2)d_x + e^x(2y)d_y=0$ dove $e^x$ è un fattore integrante ma ora mi blocco perchè: 1) non so come trovare la soluzione (in rete non ho trovato come si risolvono questo tipo di equazioni); 2) avendo una ipotetica soluzione, per la tangenza non ho capito come dovrei impostare il sistema.
L'idea sotto è quella di portare tutto a primo membro e cercare di scrivere tutto come derivata di un prodotto.
Ovviamente questo non sempre si può fare con quello che compare semplicemente nella EDO, quindi bisogna cercare un trucco... Vediamo cosa si può fare.
Chiaramente, la EDO si riscrive:
$2y(x)*y^\prime(x) + y^2(x) = 2x + x^2$
e vogliamo determinare una funzione $phi(x)$ tale che il primo membro si possa scrivere come la derivata di un prodotto: visto che $2y(x)*y^\prime(x) =("d")/("d"x)[y^2(x)]$, cerchiamo $phi(x)$ in modo che $phi(x)*[2y(x)*y^\prime(x) + y^2(x)] = ("d")/("d"x)[phi(x)*y^2(x)]$. Ciò è possibile solo se $phi(x) = phi^\prime(x)$ ossia se $phi(x)=e^x$ (lasciamo stare le costanti perché ci basta una sola funzione che faccia il gioco che vogliamo!).
Ne viene che la nostra EDO è equivalente a:
$("d")/("d"x)[e^x * y^2(x)] = e^x * (2x + x^2)$
da cui traiamo che:
$e^x * y^2(x) = y_0 + int_(x_0)^x e^t*(2t+t^2)\ "d"t$
(in cui $(x_0,y_0) in RR xx ]0,+oo[$ è un punto iniziale arbitrario). Di qui ricavi $y(x)$ con un po' di calcoli.
no ho ancora capito come si fa a rispondere citando la risposta dell'utente precedente...quindi rispondo cosi
1) quel "come sempre" quale teorema implica che di certo mi sono perso? Inoltre la Lipschitzianità locale la ottengo dalla scrittura $P+Q|y|$ e mi implica che la soluzione è massimale su $(0,+infty)$ ok...ma l'unicità perchè discende ancora da essa? Non ho proprio capito la base teorica che sta sotto.
2)il ragionamento l'ho capito, ma la formula se non ho $(x_0,y_0)$ come nel mio caso come la devo adattare?
Inoltre per la seconda richiesta come posso fare? pensavo di usare $Delta=0$ ma non so come impostare il sistema! Grazie
1) quel "come sempre" quale teorema implica che di certo mi sono perso? Inoltre la Lipschitzianità locale la ottengo dalla scrittura $P+Q|y|$ e mi implica che la soluzione è massimale su $(0,+infty)$ ok...ma l'unicità perchè discende ancora da essa? Non ho proprio capito la base teorica che sta sotto.
2)il ragionamento l'ho capito, ma la formula se non ho $(x_0,y_0)$ come nel mio caso come la devo adattare?
Inoltre per la seconda richiesta come posso fare? pensavo di usare $Delta=0$ ma non so come impostare il sistema! Grazie
"Aletzunny":
no ho ancora capito come si fa a rispondere citando la risposta dell'utente precedente...quindi rispondo cosi
Tasto ”Cita nel tema normale[nota]Peccato che non ci sia anche un tasto Tarzan…
[/nota] oppure Rispondi citando nel tema dispositivi mobili."Aletzunny":
1) quel "come sempre" quale teorema implica che di certo mi sono perso? Inoltre la Lipschitzianità locale la ottengo dalla scrittura $P+Q|y|$ e mi implica che la soluzione è massimale su $(0,+infty)$ ok...ma l'unicità perchè discende ancora da essa? Non ho proprio capito la base teorica che sta sotto.
Il teorema di esistenza ed unicità locali.
"Aletzunny":
2)il ragionamento l'ho capito, ma la formula se non ho $(x_0,y_0)$ come nel mio caso come la devo adattare?
Te li porti appresso, al massimo facendoli collassare in un'unica costante arbitraria (cosa che potrai fare quasi certamente: perché?).
"Aletzunny":
Inoltre per la seconda richiesta come posso fare? pensavo di usare $Delta=0$ ma non so come impostare il sistema!
Ale, guarda che la terza superiore l'hai terminata da tempo... Ormai dovresti aver capito che "$Delta = 0$" (:roll:) è un metodo algebrico elementare che funziona solo con le coniche (o quasi).
Qui hai degli esponenziali (probabilmente), quindi come cavolo ti viene in mente "$Delta =0$"?
Che cosa vuol dire che due curve grafico sono tangenti in un punto? Come traduci analiticamente questa definizione?
(Questa è Analisi I...)
Che vuol dire che una curva grafico è tangente in un punto ad una curva data mediante equazione cartesiana $F(x,y)=0$?
Come traduci analiticamente questa condizione?
"gugo82":
[quote="Aletzunny"]1) quel "come sempre" quale teorema implica che di certo mi sono perso? Inoltre la Lipschitzianità locale la ottengo dalla scrittura $P+Q|y|$ e mi implica che la soluzione è massimale su $(0,+infty)$ ok...ma l'unicità perchè discende ancora da essa? Non ho proprio capito la base teorica che sta sotto.
Il teorema di esistenza ed unicità locali.[/quote]
Ma perché il teorema di esistenza ed unicità locali (che conosco) implica allora l'unicità della soluzione su tutto $(0,+infty)$? Non capisco la connessione
"gugo82":
[quote="Aletzunny"]2)il ragionamento l'ho capito, ma la formula se non ho $(x_0,y_0)$ come nel mio caso come la devo adattare?
Te li porti appresso, al massimo facendoli collassare in un'unica costante arbitraria (cosa che potrai fare quasi certamente: perché?).[/quote]
Quindi nella "formula" come sostituisco $y_0$? E quindi calcolo l'integrale indefinito senza $x_0$?
"gugo82":
[quote="Aletzunny"]Inoltre per la seconda richiesta come posso fare? pensavo di usare $Delta=0$ ma non so come impostare il sistema!
Ale, guarda che la terza superiore l'hai terminata da tempo... Ormai dovresti aver capito che "$Delta = 0$" (:roll:) è un metodo algebrico elementare che funziona solo con le coniche (o quasi).
Qui hai degli esponenziali (probabilmente), quindi come cavolo ti viene in mente "$Delta =0$"?
Che cosa vuol dire che due curve grafico sono tangenti in un punto? Come traduci analiticamente questa definizione?
(Questa è Analisi I...)[/quote]
Devono avere la stessa derivata nel punto di tangenza... dunque dovrei calcolare la derivata della soluzione e porla uguale a quella di $y(x)=sqrt(6-x^2)$ ?
Altro seriamente non mi viene in mente
Ale, non si capisce nulla se rispondi dentro la citazione…
Prima di inviare un post, controllalo con “Anteprima”. Grazie.
Prima di inviare un post, controllalo con “Anteprima”. Grazie.
Pensavo facesse l'effetto desiderato... invece è uscito uno schifo! Posto qui la risposta
Non ho proprio capito perché il teorema di esistenza ed unicità locali (che conosco) implica allora l'unicità della soluzione su tutto $(0,+infty)$? Non capisco la connessione
Quindi nella "formula" come sostituisco $y_0$? E quindi calcolo l'integrale indefinito senza $x_0$?
Per la tangenza, le due curve devo avere la stessa derivata...dunque dovrei calcolare la derivata della soluzione e porla uguale alla derivata di $y=sqrt(6-x^2)$ e fare poi il sistema con la soluzione uguale a $sqrt(6-x^2)$
Non ho proprio capito perché il teorema di esistenza ed unicità locali (che conosco) implica allora l'unicità della soluzione su tutto $(0,+infty)$? Non capisco la connessione
Quindi nella "formula" come sostituisco $y_0$? E quindi calcolo l'integrale indefinito senza $x_0$?
Per la tangenza, le due curve devo avere la stessa derivata...dunque dovrei calcolare la derivata della soluzione e porla uguale alla derivata di $y=sqrt(6-x^2)$ e fare poi il sistema con la soluzione uguale a $sqrt(6-x^2)$
[xdom="gugo82"]Ale, parliamoci chiaro.
Hai quasi 1300 post all’attivo e sei iscritto da tre anni, ormai, quindi non puoi permetterti certi comportamenti.
Se vuoi continuare a postare, fallo come farebbe un utente esperto e non un niubbo alle prime armi; altrimenti ti toccheranno altre chiusure thread o peggio.[/xdom]
Hai quasi 1300 post all’attivo e sei iscritto da tre anni, ormai, quindi non puoi permetterti certi comportamenti.
Se vuoi continuare a postare, fallo come farebbe un utente esperto e non un niubbo alle prime armi; altrimenti ti toccheranno altre chiusure thread o peggio.[/xdom]
Allora volevo solo rispondere pezzo a pezzo come hai fatto tu nel post precedente ma non ci sono riuscito!
Tornando al post invece
1) ho un libro di teoria in cui ho trovato questo teorema che mi assicura che la soluzione massimale è definita su tutto $(0,+infty)$ e implicitamente ci dice che sia ha Lipschitzianità rispetto $y$ e fino a qui ok!
Ma chi mi assicura che esista unica la soluzione? Ho capito che localmente la soluzione è unica...ma chi mi assicura che la soluzione è unica anche su $(0,+infty)$? Cercando un teorema cosi non l'ho trovato e dunque ho posto la domanda e tutt'ora non mi è chiaro (dipende da me) perché si possa dire che unica!
2) se avessi saputo come andare avanti non l'avrei chiesto...ho trovato la soluzione dell'equazione differenziale $y(x)=sqrt(x^2+ce^(-x)$...
La derivata della soluzione la conosco, mentre la derivata di $x^2+y^2=6$ ,( qui ho il dubbio, $y^2$ la devo considerare come una funzione di $x$ vero?) è $2x+2yy'=0$ ovvero $y'=-x/y$
Dunque dovrei risolvere $y'=-x/y$ a sistema con $x^2+y^2=6$
Tuttavia non trovo un risultato e non capisco se sto sbagliando il ragionamento oppure semplicemente i conti e dunque semplicemente rifarli!
Grazie
P.S.: ad essere onesti la soluzione $y(x)$ l'ho trovata grazie al fatto che mi è stato fatto notare che l'equazione iniziale poteva essere ricondotta anche ad un'equazione di Bernoulli.
Tuttavia mi piacerebbe capire come si può risolvere usando il tuo metodo anche senza avere $(x_0,y_0)$ poiché non ho proprio compreso come rivedere la formula da te suggeritami.
Tornando al post invece
1) ho un libro di teoria in cui ho trovato questo teorema che mi assicura che la soluzione massimale è definita su tutto $(0,+infty)$ e implicitamente ci dice che sia ha Lipschitzianità rispetto $y$ e fino a qui ok!
Ma chi mi assicura che esista unica la soluzione? Ho capito che localmente la soluzione è unica...ma chi mi assicura che la soluzione è unica anche su $(0,+infty)$? Cercando un teorema cosi non l'ho trovato e dunque ho posto la domanda e tutt'ora non mi è chiaro (dipende da me) perché si possa dire che unica!
2) se avessi saputo come andare avanti non l'avrei chiesto...ho trovato la soluzione dell'equazione differenziale $y(x)=sqrt(x^2+ce^(-x)$...
La derivata della soluzione la conosco, mentre la derivata di $x^2+y^2=6$ ,( qui ho il dubbio, $y^2$ la devo considerare come una funzione di $x$ vero?) è $2x+2yy'=0$ ovvero $y'=-x/y$
Dunque dovrei risolvere $y'=-x/y$ a sistema con $x^2+y^2=6$
Tuttavia non trovo un risultato e non capisco se sto sbagliando il ragionamento oppure semplicemente i conti e dunque semplicemente rifarli!
Grazie
P.S.: ad essere onesti la soluzione $y(x)$ l'ho trovata grazie al fatto che mi è stato fatto notare che l'equazione iniziale poteva essere ricondotta anche ad un'equazione di Bernoulli.
Tuttavia mi piacerebbe capire come si può risolvere usando il tuo metodo anche senza avere $(x_0,y_0)$ poiché non ho proprio compreso come rivedere la formula da te suggeritami.
"Aletzunny":
Allora volevo solo rispondere pezzo a pezzo come hai fatto tu nel post precedente ma non ci sono riuscito!
Riescici.
Ti basta leggere il messaggio citato e vedere come sono inseriti i tag "quote".
Ci provo.
Ma le domande dove non ho capito questa volta le ho scritte al meglio. Altro non so come fare
Ma le domande dove non ho capito questa volta le ho scritte al meglio. Altro non so come fare
"Aletzunny":
Pensavo facesse l'effetto desiderato... invece è uscito uno schifo!
[xdom="gugo82"]Ho sistemato i tag "quote" nel post incriminato.
Prima ed ultima volta che lo faccio, visto che non mi piace fare da babysitter ad utenti che dovrebbero essere "esperti" e mi piace partecipare solo a discussioni in cui ognuno fa la propria parte per mantenere ordine e pulizia.[/xdom]
"Aletzunny":
Perché il teorema di esistenza ed unicità locali (che conosco) implica allora l'unicità della soluzione su tutto $(0,+infty)$? Non capisco la connessione
Supponi che siano verificate le ipotesi del teorema. Diciamo che in un dato punto $(x_0,y_0)$ del dominio della EDO passino due soluzioni: che possiamo dire di queste soluzioni?
"Aletzunny":
Quindi nella "formula" come sostituisco $y_0$? E quindi calcolo l'integrale indefinito senza $x_0$?
Quale formula "conosci"?
Ah, come osservato altrove, degli integrali indefiniti devi cercare di farne a meno, soprattutto quando hai delle cc.ii. da imporre.
"Aletzunny":
Per la tangenza, le due curve devo avere la stessa derivata...dunque dovrei calcolare la derivata della soluzione e porla uguale alla derivata di $y=sqrt(6-x^2)$ e fare poi il sistema con la soluzione uguale a $sqrt(6-x^2)$
Appunto.
E può darsi non sia proprio un bagno di sangue di contazzi... Prova.
Ok forse ho capito
1)in ogni $(x_0,y_0)$ le 2 soluzione devono coincidere
2) non conosco nessuna formula del genere, seriamente parlando
3) come scritto nel post precedente ho calcolato la derivata di $x^2+y^2=6$ come $2x +2yy'=0$ da cui ottengo $y'=-x/y$
Poi pongo uguale all' $y'$ iniziale e faccio il sistema con $x^2+y^2=6$ .
Può essere corretto anche questo metodo?
1)in ogni $(x_0,y_0)$ le 2 soluzione devono coincidere
2) non conosco nessuna formula del genere, seriamente parlando
3) come scritto nel post precedente ho calcolato la derivata di $x^2+y^2=6$ come $2x +2yy'=0$ da cui ottengo $y'=-x/y$
Poi pongo uguale all' $y'$ iniziale e faccio il sistema con $x^2+y^2=6$ .
Può essere corretto anche questo metodo?
"Aletzunny":
1)in ogni $(x_0,y_0)$ le 2 soluzione devono coincidere
Non solo.
"Aletzunny":
2) non conosco nessuna formula del genere, seriamente parlando
E allora a quale "formula" ti riferivi?
L'hai scritto tu, mica io...
"Aletzunny":
3) come scritto nel post precedente ho calcolato la derivata di $x^2+y^2=6$ come $2x +2yy'=0$ da cui ottengo $y'=-x/y$
Poi pongo uguale all' $y'$ iniziale e faccio il sistema con $x^2+y^2=6$ .
Può essere corretto anche questo metodo?
Prova a fare il conto e vedi che ti esce.
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