Equazioni differenziali
Ciao a tutti, ho 2 dubbi su questi 2 esercizi su problemi di Cauchy: apro solo un post, sperando di ricevere però risposta ad entrambe le mie domande
$\{(y'=y/x + cos^2(y/x)),(y(1)=alpha):}$ , con $alpha={0,pi/2,pi}$
per ogni $[a,b] sube (0,+infty)$ $|y/x + cos^2(y/x)|<=|y|/a+ 1=P+Q|y|$ per ogni $x in [a,b]$, per ogni $y in RR$ e fino a qui ho capito: tuttavia poi la soluzione dice che questa proprietà implica che esiste unica la soluzione del problema di Cauchy definita su $(0,+infty)$...Perchè?
io sapevo che una proprietà del genere implicasse solo l'esistenza di una soluzione massimale definita su $(0,+infty)$ ma non l'unicità!
$\{(y'=(2x+x^2-y^2)/(2y)),(y(x)>0):}$ : trovare le soluzioni tangenti per $y>0$ alla circonferenza $x^2+y^2=6$
Non avendo mai trovare eq. differeziali di questo tipo ho trovato online che posso ricondurmi a $e^x(y^2-2x-x^2)d_x + e^x(2y)d_y=0$ dove $e^x$ è un fattore integrante ma ora mi blocco perchè: 1) non so come trovare la soluzione (in rete non ho trovato come si risolvono questo tipo di equazioni); 2) avendo una ipotetica soluzione, per la tangenza non ho capito come dovrei impostare il sistema.
Grazie
$\{(y'=y/x + cos^2(y/x)),(y(1)=alpha):}$ , con $alpha={0,pi/2,pi}$
per ogni $[a,b] sube (0,+infty)$ $|y/x + cos^2(y/x)|<=|y|/a+ 1=P+Q|y|$ per ogni $x in [a,b]$, per ogni $y in RR$ e fino a qui ho capito: tuttavia poi la soluzione dice che questa proprietà implica che esiste unica la soluzione del problema di Cauchy definita su $(0,+infty)$...Perchè?
io sapevo che una proprietà del genere implicasse solo l'esistenza di una soluzione massimale definita su $(0,+infty)$ ma non l'unicità!
$\{(y'=(2x+x^2-y^2)/(2y)),(y(x)>0):}$ : trovare le soluzioni tangenti per $y>0$ alla circonferenza $x^2+y^2=6$
Non avendo mai trovare eq. differeziali di questo tipo ho trovato online che posso ricondurmi a $e^x(y^2-2x-x^2)d_x + e^x(2y)d_y=0$ dove $e^x$ è un fattore integrante ma ora mi blocco perchè: 1) non so come trovare la soluzione (in rete non ho trovato come si risolvono questo tipo di equazioni); 2) avendo una ipotetica soluzione, per la tangenza non ho capito come dovrei impostare il sistema.
Grazie
Risposte
1) sono la stessa
2) intendevo quella che hai scritto tu nella prima risposta del post: $y(x)=y_0+....$
3) rifacendo i conti trovo una soluzione: la costante è $C=4e$
Da cui $e^x(y^2-x^2)=4e$ ma non avendo soluzioni non so quanto sia corretto lo svolgimento impostato come scritto nel post precedente
2) intendevo quella che hai scritto tu nella prima risposta del post: $y(x)=y_0+....$
3) rifacendo i conti trovo una soluzione: la costante è $C=4e$
Da cui $e^x(y^2-x^2)=4e$ ma non avendo soluzioni non so quanto sia corretto lo svolgimento impostato come scritto nel post precedente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo