Equazioni differenziali

[_Daniele_]

Ciao ragazzi, sono alle prime armi riguardo le equazioni differenziali e mi sono imbattuto in questi due esercizi:

1) $ 2(x+1)y'+2y+(x+1)^4/(y^2)=0 $

Io l'ho riscritta così: $y'=-(y)/(x+1) - (x+1)^3/2y^2$ . A me sembra di Bernoulli, ma non riesco materialmente a procedere

2) $ y'= -ytanx+cos^2xe^sinx $ . Questa non ho la più pallida idea di cosa sia.


Vi ringrazio.

[Berationalgetreal]

1) Moltiplicando tutto per \( {y^2}\):

\[ \frac{2}{3} { \left( y^3\right)'} +\frac {2y^3}{x+1} + (x + 1)^3= 0 \]

Quindi, detto \( z = y^3\):

\[ { \dot z} +\frac {3z}{x+1} + \frac{3}{2} (x + 1)^3= 0 \]

Moltiplicando tutto per il fattore integrante \( e^{\ln \left(\frac{3}{x+1} \right )} = (1+x)^3 \):

\[ \frac{ \text{d} \Big ( z (1+x)^3 \Big )}{\text{d} x } =- \frac{3}{2} (x+1)^6 \]

Integrando rispetto a \(x\) da entrambe le parti:

\[z (1+x)^3 = -\frac{3}{14} (x+1)^7 + c, \qquad c \in \mathbb{R} \]

Quindi:

\[ z = \frac{c}{(1+x)^3} - \frac{3}{14} (1 + x)^4 \]

Infine:

\[ y = \sqrt[3]{ \frac{c}{(1+x)^3} - \frac{3}{14} (1 + x)^4 }\]

[Berationalgetreal]

2) Moltiplicando tutto per il fattore integrante \( e^{\int \tan(x) \ \text{d} x } = \frac{1}{\cos(x)} \):

\[\frac{\text{d} \left ( \frac{y}{\cos (x) }\right ) }{\text{d} x} = \cos (x) \; e^{\sin (x) }\]

Quindi, integrando da entrambe le parti rispetto ad \(x\):

\[ \frac{y}{\cos(x)} = e^{\sin(x)} + c, \qquad c \in \mathbb{R} \]

Infine:

\[ y = c \cos (x) + \cos (x) \; e^{\sin(x) } \]

[_Daniele_]

La 2), provando e riprovando l'ho risolta. Ho confrontato con il tuo procedimento ed è giusto.

Appena posso guardo la 1) e ti dico.

Grazie mille!