Equazioni differenziale alle derivate parziali

[ymod19]

L'equazione $ u_(x x)-3u_(x y)+5_(yy)+u_x-3u_y=0 $ è un equazione del secondo ordine semi lineare,giusto??

Ora per trovarmi la curva caratteristica devo fare la matrice, ma che valori e come ce li devo mettere??

[D4lF4zZI0]

Confrontando l'equazione assegnata:
$ u_(x x)-3u_(x y)+5u_(y y)=3u_y-u_x $
con quella canonica:
$ au_(x x)+2bu_(x y)+cu_(y y)=f(x,y,u,u_x,u_y) $
si nota subito che:
$ { ( a=1 ),( 2b=-3 ),( c=5 ):} $
Dunque, per individuare le curve caratteristiche occorre imporre che:
$ | ( a , 2b , c ),( dot(x) , dot(y) , 0 ),( 0 , dot(x) , dot(y) ) |!= 0rArr | ( 1 , -3 , 5 ),( dot(x) , dot(y) , 0 ),( 0 , dot(x) , dot(y) ) |!= 0 $
Risolvendo tale determinante, si ottiene:
$ (dot(y))^2+3dot(x)dot(y)+5(dot(x))^2!=0 rArr (dot(y)/dot(x))^2+3dot(y)/dot(x)+5!=0 rArr (dy/dx)^2+3dy/dx+5!=0 $
Calcolando il discriminante, si ha:
$ D=b^2-4ac=9-20<0 $
Poichè il discriminante è non positivo, l'equazione assegnata è di tipo ellittico e, dunque, non ha alcuna famiglia di curve caratteristiche

[ymod19]

@D4lFzZIO grazie sei stato perfetto... Una curiosità perchè sugli appunti che ho il delta/discriminante me lo calcola come $b^2-ac$ questo perchè nella formula noi abbiamo $2b$ e quindi calcolo il determinate devo considerare $ 2b=b$ nella formula $b^2-4ac$. giusto? Spero che mi sono fatto capire

L'unica cosa che non ho capito è come faccio a dire se l'equazione è lineare,quasi lineare o semilineare??? devo fare qualche calcolo o lo vedo ad occhio?

[ymod19]

"D4lF4zZI0":Confrontando l'equazione assegnata:
$ u_(x x)-3u_(x y)+5u_(y y)=3u_y-u_x $
con quella canonica:
$ au_(x x)+2bu_(x y)+cu_(y y)=f(x,y,u,u_x,u_y) $
si nota subito che:
$ { ( a=1 ),( 2b=-3 ),( c=5 ):} $
Dunque, per individuare le curve caratteristiche occorre imporre che:
$ | ( a , 2b , c ),( dot(x) , dot(y) , 0 ),( 0 , dot(x) , dot(y) ) |!= 0rArr | ( 1 , -3 , 5 ),( dot(x) , dot(y) , 0 ),( 0 , dot(x) , dot(y) ) |!= 0 $
Risolvendo tale determinante, si ottiene:
$ (dot(y))^2+3dot(x)dot(y)+5(dot(x))^2!=0 rArr (dot(y)/dot(x))^2+3dot(y)/dot(x)+5!=0 rArr (dy/dx)^2+3dy/dx+5!=0 $
Calcolando il discriminante, si ha:
$ D=b^2-4ac=9-20<0 $
Poichè il discriminante è non positivo, l'equazione assegnata è di tipo ellittico e, dunque, non ha alcuna famiglia di curve caratteristiche

A proposito, quindi i coefficienti di $u_x u_y$ e le costanti non le devo considerare??

[D4lF4zZI0]

Allora, per il discriminante hai ragione tu, essendoci un $2b$ si usa la forma ridotta; i coefficienti di $u_x$ e $u_y$ non giocano alcun ruolo ai fini della individuazione delle curve caratteristiche ( rivediti un pò la teoria, ma cmq va tutto riferito alla equazione canonica ); infine, l'equazione assegnata è lineare in quanto non c'è alcuna non linearità; mi spiego meglio, i termini: $a=a(x,y)$, $b=b(x,y)$e $c=c(x,y)$ sono costanti e dunque è una equazione alle derivate parziali del secondo ordine lineare.