Equazioni diff.: teorema di esistenza ed unicità
ciao a tutti,
sono incappato in una dimostrazione del teorema di esistenza ed unicità per le equazioni differenziali dove c'è un passaggio che non capisco.
Tralascio il resto, credo che gli esperti non abbiamo problemi a riconoscere i vari simboli.
E' la prima parte della dimostrazione dove si deve dimostrare che la successione che deriva dalla spezzata di Eulero $y=y_n(x)$ è uniformemente convergente. $N$ è la costante di Lipschitz, il passo della spezzata è $h_n= H/n$ nell'intervallo $x_0<=x<=x_0+H$,
n e m sono numeri positivi.
-------------------------------------
"Per la condizione di Lipschitz:
1) $|y_(n+m) (x) - y_n(x)|<=N \int_(x_0)^x|y_(n+m)(t) - y_n(t)dt + (\epsilon_(n+m)+ \epsilon_n)*H$
quindi
2) $max_(x_0<=x<=x_0+H) |y_(n+m) (x) - y_n(x)|<=N max \int_(x_0)^x|y_(n+m)(t) - y_n(t)dt + (\epsilon_(n+m)+ \epsilon_n)*H$
da cui
3) $max_(x_0<=x<=x_0+H) |y_(n+m) (x) - y_n(x)|<= ((\epsilon_(n+m)+ \epsilon_n)*H)/(1-NH) < \epsilon$
per ogni $\epsilon > 0$ con $n>N_1(\epsilon)$ sufficientemente grande.
Dunque,
4) $max_(x_0<=x<=x_0+H) |y_(n+m) (x) - y_n(x)|< \epsilon$
per $n>N_1(\epsilon)$, cioè la successione di funzioni continue $y_n(x)$ è uniformemente convergente per
$x_0<=x<=x_0+H$.
-------------------------------------
Il passaggio che non capisco è dal 2 al 3. In che modo $N max \int_(x_0)^x|y_(n+m)(t) - y_n(t)dt$ diventa $1-NH$ al denominatore di $((\epsilon_(n+m)+ \epsilon_n)*H)/(1-NH) < \epsilon$ ?
grazie per l'aiuto
sono incappato in una dimostrazione del teorema di esistenza ed unicità per le equazioni differenziali dove c'è un passaggio che non capisco.
Tralascio il resto, credo che gli esperti non abbiamo problemi a riconoscere i vari simboli.
E' la prima parte della dimostrazione dove si deve dimostrare che la successione che deriva dalla spezzata di Eulero $y=y_n(x)$ è uniformemente convergente. $N$ è la costante di Lipschitz, il passo della spezzata è $h_n= H/n$ nell'intervallo $x_0<=x<=x_0+H$,
n e m sono numeri positivi.
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"Per la condizione di Lipschitz:
1) $|y_(n+m) (x) - y_n(x)|<=N \int_(x_0)^x|y_(n+m)(t) - y_n(t)dt + (\epsilon_(n+m)+ \epsilon_n)*H$
quindi
2) $max_(x_0<=x<=x_0+H) |y_(n+m) (x) - y_n(x)|<=N max \int_(x_0)^x|y_(n+m)(t) - y_n(t)dt + (\epsilon_(n+m)+ \epsilon_n)*H$
da cui
3) $max_(x_0<=x<=x_0+H) |y_(n+m) (x) - y_n(x)|<= ((\epsilon_(n+m)+ \epsilon_n)*H)/(1-NH) < \epsilon$
per ogni $\epsilon > 0$ con $n>N_1(\epsilon)$ sufficientemente grande.
Dunque,
4) $max_(x_0<=x<=x_0+H) |y_(n+m) (x) - y_n(x)|< \epsilon$
per $n>N_1(\epsilon)$, cioè la successione di funzioni continue $y_n(x)$ è uniformemente convergente per
$x_0<=x<=x_0+H$.
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Il passaggio che non capisco è dal 2 al 3. In che modo $N max \int_(x_0)^x|y_(n+m)(t) - y_n(t)dt$ diventa $1-NH$ al denominatore di $((\epsilon_(n+m)+ \epsilon_n)*H)/(1-NH) < \epsilon$ ?
grazie per l'aiuto
Risposte
Beh, [tex]$\frac{1}{1-NH}$[/tex] è la somma della serie geometrica [tex]$\sum_{k=1}^{+\infty} (NH)^k$[/tex].
Probabilmente si riesce a maggiorare quell'integrale con qualche somma parziale (o similia) di tale serie, la quale, visto che la serie è a termini positivi, si maggiora ancora con la somma della serie, cioè [tex]$\frac{1}{1-NH}$[/tex].
Prova un po'.
P.S.: Chi sono gli [tex]$\varepsilon_n$[/tex]?
Probabilmente si riesce a maggiorare quell'integrale con qualche somma parziale (o similia) di tale serie, la quale, visto che la serie è a termini positivi, si maggiora ancora con la somma della serie, cioè [tex]$\frac{1}{1-NH}$[/tex].
Prova un po'.
P.S.: Chi sono gli [tex]$\varepsilon_n$[/tex]?
Giusto, non ci avevo pensato!
avevo intuito che ci deve essere la maggiorazione dell'integrale, non l'avevo collegato alla somma della serie.
Questa sera mi ci metto al lavoro.
Gli $\varepsilon_n$ dovrebbero essere i numeri collegati con la continuità uniforme di $f(x_n,y_n),
poco prima il libro dà "... per $n > N(\epsilon_n)$, dove $\epsilon -> 0$ per $n -> infty$"
intanto grazie
avevo intuito che ci deve essere la maggiorazione dell'integrale, non l'avevo collegato alla somma della serie.
Questa sera mi ci metto al lavoro.
Gli $\varepsilon_n$ dovrebbero essere i numeri collegati con la continuità uniforme di $f(x_n,y_n),
poco prima il libro dà "... per $n > N(\epsilon_n)$, dove $\epsilon -> 0$ per $n -> infty$"
intanto grazie
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