Equazioni di Riccati
Salve, qualcuno mi può aiutare con questa equazione differenziali di Riccati: in particolare non ho ben capito come ragionare per determinare la soluzione particolare di:
$y'=-y^2 + (3/x)*y + 1/x^2$
infatti ho provato sia $y(x)=x^(alpha)$, sia $y(x)=z(x)*x^(alpha)$ ma non arrivo a nulla.
Qualcuno mi può dare una mano, soprattutto a capire su che tipo di funzione dovrei puntare per trovare la soluzione particolare e il perchè di questa scelta.
Grazie
$y'=-y^2 + (3/x)*y + 1/x^2$
infatti ho provato sia $y(x)=x^(alpha)$, sia $y(x)=z(x)*x^(alpha)$ ma non arrivo a nulla.
Qualcuno mi può dare una mano, soprattutto a capire su che tipo di funzione dovrei puntare per trovare la soluzione particolare e il perchè di questa scelta.
Grazie
Risposte
Seguendo il metodo però trovo qualcosa di impossibile:
$f(x)=-1$ $g(x)=3/x$ $h(x)=1/x^2$ $n=2$
Quindi $y(x)=[(h(x))/f(x)]^(1/n) * u(x)$
Ottengo $y(x)=sqrt(-1/x^2)*u(x)$ che è impossibile perché la radice non esiste
$f(x)=-1$ $g(x)=3/x$ $h(x)=1/x^2$ $n=2$
Quindi $y(x)=[(h(x))/f(x)]^(1/n) * u(x)$
Ottengo $y(x)=sqrt(-1/x^2)*u(x)$ che è impossibile perché la radice non esiste
Come potrei superare anche questo problema? Mi pareva un'equazione fattibile invece mi sta facendo dannare
[xdom="gugo82"]È vietato uppare un thread prima di 24h dall'ultimo post.
Chiudo e se ne riparla domani in serata.[/xdom]
[xdom="gugo82"]È vietato uppare un thread prima di 24h dall'ultimo post.
Chiudo e se ne riparla domani in serata.[/xdom]
Beh, Ale, potresti provare comunque la sostituzione "facendo finta" che $i=sqrt(-1)$, quindi:
$y(x) = i 1/x u(x)$
avendo scelto $x>0$.
Vedi che ne esce.
$y(x) = i 1/x u(x)$
avendo scelto $x>0$.
Vedi che ne esce.
"Aletzunny":
Qualcuno mi può dare una mano, soprattutto a capire su che tipo di funzione dovrei puntare per trovare la soluzione particolare e il perchè di questa scelta.
Osservando l'equazione e soprattutto quell'$x$ al quadrato al denominatore, una soluzione particolare dell'equazione differenziale proposta è sicuramente del tipo seguente:
$y_p(x) = a/x $
ove $a$ è una costante da determinare. Determinala...
Grazie dei consigli...
Provo a vedere se riesco! Nel caso riscrivo se ancora non torna nulla
Provo a vedere se riesco! Nel caso riscrivo se ancora non torna nulla
"pilloeffe":
[quote="Aletzunny"]Qualcuno mi può dare una mano, soprattutto a capire su che tipo di funzione dovrei puntare per trovare la soluzione particolare e il perchè di questa scelta.
Osservando l'equazione e soprattutto quell'$x$ al quadrato al denominatore, una soluzione particolare dell'equazione differenziale proposta è sicuramente del tipo seguente:
$y_p(x) = a/x $
ove $a$ è una costante da determinare. Determinala...
[/quote]Usando questo metodo ho trovato $a=2+-sqrt(5)$ da cui sono poi giunto a una forma nota!
Grazie
Tramite sostituzione:
\(\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-y^2+\dfrac{3\,y}{x}+\dfrac{1}{x^2}\\\left[y=\dfrac{1}{z}\quad\mathrm{d}y=-\dfrac{\mathrm{d}z}{z^2} \right] \\ -\dfrac{\mathrm{d}z}{z^2}=\left(\dfrac{3}{x\,z}-\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)\,\mathrm{d}x \Rightarrow \text{Equazione omogenea}\)
Soluzione passo passo:
[url]https://mathdf.com/dif/it/?expr=y'%3D-y%5E2%2B(3%2Fx)*y%2B1%2Fx%5E2&func=y&arg=x[/url]
\(\displaystyle y'=-y^{2}+\dfrac{3\,y}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\;\rightarrow\;e^{\frac{\ln\left(\frac{\frac{1}{x\,y}-\sqrt{5}+2}{\frac{1}{x\,y}+\sqrt{5}+2}\right)}{2\,\sqrt{5}}}=\dfrac{C}{x},\;\,x=\dfrac{1}{\left(\sqrt{5}-2\right)\,y},\;\,x=-\dfrac{1}{\left(\sqrt{5}+2\right)\,y} \)
\(\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-y^2+\dfrac{3\,y}{x}+\dfrac{1}{x^2}\\\left[y=\dfrac{1}{z}\quad\mathrm{d}y=-\dfrac{\mathrm{d}z}{z^2} \right] \\ -\dfrac{\mathrm{d}z}{z^2}=\left(\dfrac{3}{x\,z}-\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)\,\mathrm{d}x \Rightarrow \text{Equazione omogenea}\)
Soluzione passo passo:
[url]https://mathdf.com/dif/it/?expr=y'%3D-y%5E2%2B(3%2Fx)*y%2B1%2Fx%5E2&func=y&arg=x[/url]
\(\displaystyle y'=-y^{2}+\dfrac{3\,y}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\;\rightarrow\;e^{\frac{\ln\left(\frac{\frac{1}{x\,y}-\sqrt{5}+2}{\frac{1}{x\,y}+\sqrt{5}+2}\right)}{2\,\sqrt{5}}}=\dfrac{C}{x},\;\,x=\dfrac{1}{\left(\sqrt{5}-2\right)\,y},\;\,x=-\dfrac{1}{\left(\sqrt{5}+2\right)\,y} \)
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