Equazioni delle linee di un campo vettoriale
Buongiorno a tutti. Dopo mesi [o anni di latitanza] sono tornato a farvi visita con un nuovo banale quesito 
In realtà sono una serie di domande e spero che avrete la pazienza per leggerle e risponderle.
Stavo riflettendo sopra di una questione. Un tipico problema di analisi vettoriale consiste nel determinare le equazioni delle linee del campo vettoriale e a volte si chiede proprio l'equazione di una linea passante per un determinato punto.
Penso sia banale ma se il campo non presenta una "sufficiente regolarità" nel punto scelto la linea non ci passa per quel punto. E' un ragionamento corretto?
Per trovare le linee ho fatto il seguente ragionamento. Se $F(x,y,z)$ è il mio campo vettoriale e se $r(t) := ((x(t),y(t),z(t))$ è la mia curva, posso trovare il vettore tangente al campo vettoriale semplicemente calcolando $r'(t) := ((x(t),y(t),z(t))$. A questo punto mi parametrizzo il campo secondo $r(t)$ e mi risolvo "l'equazioncina" $r'(t) = F(r(t))$ che in realtà è un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine. Ecco il più delle volte è davvero brutto da risolvere.
Le poche volte che riesco a risolverlo mi trovo una soluzione che non riesco ad esplicitare, qualcosa che sembra più un'intersezione tra superfici. La mia domanda è la seguente, trovata la soluzione, sia essa una curva parametrica o un'intersezione tra superfici, come faccio a verificare che è quella corretta? Quali sono i calcoli da fare?
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione per le vostre futura e dettagliate risposta
In realtà sono una serie di domande e spero che avrete la pazienza per leggerle e risponderle.
Stavo riflettendo sopra di una questione. Un tipico problema di analisi vettoriale consiste nel determinare le equazioni delle linee del campo vettoriale e a volte si chiede proprio l'equazione di una linea passante per un determinato punto.
Penso sia banale ma se il campo non presenta una "sufficiente regolarità" nel punto scelto la linea non ci passa per quel punto. E' un ragionamento corretto?
Per trovare le linee ho fatto il seguente ragionamento. Se $F(x,y,z)$ è il mio campo vettoriale e se $r(t) := ((x(t),y(t),z(t))$ è la mia curva, posso trovare il vettore tangente al campo vettoriale semplicemente calcolando $r'(t) := ((x(t),y(t),z(t))$. A questo punto mi parametrizzo il campo secondo $r(t)$ e mi risolvo "l'equazioncina" $r'(t) = F(r(t))$ che in realtà è un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine. Ecco il più delle volte è davvero brutto da risolvere.
Le poche volte che riesco a risolverlo mi trovo una soluzione che non riesco ad esplicitare, qualcosa che sembra più un'intersezione tra superfici. La mia domanda è la seguente, trovata la soluzione, sia essa una curva parametrica o un'intersezione tra superfici, come faccio a verificare che è quella corretta? Quali sono i calcoli da fare?
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione per le vostre futura e dettagliate risposta
Risposte
Faccio solo un'altra piccola aggiunta. Ho controllato alcune dispense, le poche che trattano questo argomento e praticamente tutte fanno uso del famigerato metodo urang-utang© per risolvere il problema. Usano questa notazione: indicano con $f_1 , f_2 , f_3$ le componenti del campo vettoriale e trovano le linee di campo semplicemente "risolvendo"
$dx/f_1 = dy/f_2 = dz/f_3$
Si è davvero obbligati ad usare questo metodo sbagliato? Esiste qualche altro formalismo più elegante?
$dx/f_1 = dy/f_2 = dz/f_3$
Si è davvero obbligati ad usare questo metodo sbagliato? Esiste qualche altro formalismo più elegante?
Scusate ma nessuno ha punto voglia di rispondermi? 
Mi è lecito riproporre questa mia vecchia discussione ancora priva di risposta?
"magliocurioso":
Mi è lecito riproporre questa mia vecchia discussione ancora priva di risposta?
Direi di sì, il tempo minimo di 24 ore per un "up" mi sembra sia stato adeguatamente rispettato
Sì in effetti sono stato molto poco chiaro nell'esporre la domanda e provo a riformularla in questo modo.
Ho un campo vettoriale \[ F(x,y,z) := (f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z)) \] ed unaa curva nello spazio \[ \gamma(t) := ((x(t),y(t),z(t)) \]Di entrambi conosco le espressioni analitiche e quindi trovo il vettore tangente alla curva\[ \gamma'(t) = ((x'(t),y'(t),z'(t)) \]Se parametrizzo il campo secondo la curva ottengo \[ F(\gamma(t)) = (f_1(x(t),y(t),z(t)),f_2(x(t),y(t),z(t)),f_3(x(t),y(t),z(t))) \]e quindi trovo l'equazione di una generica linea del campo vettoriale risolvendo \[ \gamma'(t) = F(\gamma(t)) \]ovvero\[ \begin{cases}
x'(t) = f_1(x(t),y(t),z(t)) \\
y'(t) = f_2(x(t),y(t),z(t)) \\
z'(t) = f_3(x(t),y(t),z(t))
\end{cases}\] Ecco, si accettano consigli e suggerimenti di tecniche per risolvere un sistema del genere...
Ho un campo vettoriale \[ F(x,y,z) := (f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z)) \] ed unaa curva nello spazio \[ \gamma(t) := ((x(t),y(t),z(t)) \]Di entrambi conosco le espressioni analitiche e quindi trovo il vettore tangente alla curva\[ \gamma'(t) = ((x'(t),y'(t),z'(t)) \]Se parametrizzo il campo secondo la curva ottengo \[ F(\gamma(t)) = (f_1(x(t),y(t),z(t)),f_2(x(t),y(t),z(t)),f_3(x(t),y(t),z(t))) \]e quindi trovo l'equazione di una generica linea del campo vettoriale risolvendo \[ \gamma'(t) = F(\gamma(t)) \]ovvero\[ \begin{cases}
x'(t) = f_1(x(t),y(t),z(t)) \\
y'(t) = f_2(x(t),y(t),z(t)) \\
z'(t) = f_3(x(t),y(t),z(t))
\end{cases}\] Ecco, si accettano consigli e suggerimenti di tecniche per risolvere un sistema del genere...
Purtroppo non ci sono tecniche generali.
Ma questo è un problema che riguarda tutto il mondo delle equazioni differenziali: certo, esistono teoremi che hanno un ampio raggio di applicabilità; ma non esistono tecniche che consentano di risolvere problemi "generali".
Ma questo è un problema che riguarda tutto il mondo delle equazioni differenziali: certo, esistono teoremi che hanno un ampio raggio di applicabilità; ma non esistono tecniche che consentano di risolvere problemi "generali".
"gugo82":Però magari, a guisa delle varie classi di EDO, esistono che ne so, delle "classi di sistemi di EDO" per le quali si possono applicare delle consolidate tecniche risolutive? [Escludendo ovviamente il caso in cui sia un sistema di EDO lineari].
Purtroppo non ci sono tecniche generali.
Ma questo è un problema che riguarda tutto il mondo delle equazioni differenziali: certo, esistono teoremi che hanno un ampio raggio di applicabilità; ma non esistono tecniche che consentano di risolvere problemi "generali".
"magliocurioso":Però magari, a guisa delle varie classi di EDO, esistono che ne so, delle "classi di sistemi di EDO" per le quali si possono applicare delle consolidate tecniche risolutive? [Escludendo ovviamente il caso in cui sia un sistema di EDO lineari].[/quote]
[quote="gugo82"]Purtroppo non ci sono tecniche generali.
Ma questo è un problema che riguarda tutto il mondo delle equazioni differenziali: certo, esistono teoremi che hanno un ampio raggio di applicabilità; ma non esistono tecniche che consentano di risolvere problemi "generali".
Probabilmente sì, ma non so dirti molto a riguardo.
La Matematica non affronta più così le EDO da molto tempo, ma dato che:
La storia non è poi
la devastante ruspa che si dice.
Lascia sottopassaggi, cripte, buche
e nascondigli. C'è chi sopravvive. (cit. E. Montale)
se ricerchi un po' di vecchi testi, di quelli sepolti nelle cripte delle bilbioteche, probabilmente potrai trovare risposta al tuo quesito.
***
Permettimi, ora, una digressione storica.
Questo filone di ricerca sulle EDO, cioè la ricerca dei metodi per integrare elementarmente alcune classi di equazioni (riconducendole ad EDO note, per lo più a variabili separabili) ha avuto il suo picco nel 1700 (con Eulero, i Bernoulli, d'Alembet, Lagrange, Monge...) ed all'inizio del 1800 (con Bessel, Jacobi, Fuchs...).
Poi fortunatamente i Matematici hanno capito che, nonostante si sforzassero molto, non c'era niente da fare... Non esistevano, né esistono, metodi generali per determinare esplicitamente gli integrali delle singole equazioni (figuriamoci dei sistemi!).
Perciò, da Cauchy in poi, la ricerca sulle EDO si è orientata per lo più su (1) teoremi di esistenza "astratti" (cioè su teoremi che non prevedessero la costruzione esplicita di una soluzione mediante integrazione, ma solo delle semplici asserzioni di esistenza) oppure su (2) teoremi di rappresentazione delle soluzioni.
Inoltre, ci sono un po' più defilati, il filone (3) che concerne i teoremi di unicità (la quale si può garantire non solo usando la sola equazione, ma accoppiando ad essa delle opportune condizioni) ed il (4) che concerne le proprietà qualitative delle soluzioni (che si fa sempre specificando opportune condizioni da accoppiare alla EDO).
- [*:22ytr7nd] Il filone di ricerca (1), che parte da Cauchy, ha coinvolto tra gli altri Lipschitz, Peano, Osgood, Picard, etc... ed è culminata col classico teorema di esistenza ed unicità locale per il problema di Cauchy sotto condizioni di Lipschitz e col teorema di esistenza locale di Peano (sempre per il problema di Cauchy).
[/*:m:22ytr7nd]
[*:22ytr7nd] Il filone (2) probabilmente parte da più lontano, poiché se non erro già Newton (e poi Eulero) usava gli sviluppi in serie per scrivere le soluzioni di equazioni differenziali. In tale filone si inseriscono le ricerche di Cauchy, Kovalevskaya, Fuchs, etc... sugli integrali analitici delle EDO (e PDE) a coefficienti analitici (i.e., sulle soluzioni localmente rappresentabili come somme di serie di potenze di EDO che hanno i coefficienti che sono a loro volta rappresentabili localmente come somme di serie dello stesso tipo); le ricerche di Fourier, Dirichlet, Riemann, etc... sugli integrali rappresentabili come somma di serie trigonometriche; le ricerche di Poisson, Green, etc... sulle soluzioni rappresentabili (detta in termini moderni) come convoluzione contro dei potenziali.*
[/*:m:22ytr7nd]
[*:22ytr7nd] Per quanto riguarda l'unicità, era noto che essa dipendesse dal tipo di condizioni che si accoppiavano alla EDO. Sotto alcune condizioni, l'unicità si recupera "sempre" e facilmente (come nel teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy) mentre, sotto altri tipi di condizioni, non c'è proprio via per recuperarla "sempre"; quindi si poneva il problema di caratterizzare i casi in cui l'unicità manca: questo è, grossomodo, il punto iniziale della teoria spettrale degli operatori, elaborata da Hilbert e dai suoi allievi e da Riesz (cfr. più avanti).
[/*:m:22ytr7nd]
[*:22ytr7nd] Lo studio delle proprietà qualitative comincia, grossomodo, con gli studi di Liouville e Sturm sugli integrali oscillanti; poi, con l'andare del tempo, si capisce che in alcuni casi c'è un forte legame tra gli zeri degli integrali oscillanti di certe EDO e i valori per cui alcuni problemi relativi a certe PDE non soddisfano teoremi di unicità (e.g., i valori di \(\lambda\) per cui non è unica la soluzione del problema \(-u_{xx}-u_{yy} =\lambda\ u \) in un cerchio con condizione \(u=0\) sulla circonferenza sono esattamente gli zeri della soluzione oscillante di una EDO -detta equazione di Bessel-), quindi queste questioni si affrontano con maggiore sistematicità con Klein, Bocher, Titchmarsh, Weyl, etc...[/*:m:22ytr7nd][/list:u:22ytr7nd]
Poi, l'Analisi ha scoperto che si poteva giocare in maniera molto più astratta con le funzioni (grazie a Banach ed agli analisti funzionali polacchi, tedeschi, francesi ed italiani), ed i metodi astratti sono entrati prepotentemente nelle questioni di esistenza di soluzioni per problemi riguardanti le EDO...
Un classico esempio di approccio funzional-analitico alla questione dell'esistenza di soluzioni locali per il problema di Cauchy è quello che potremmo chiamare metrico, che si concretizza nella dimostrazione del suddetto teorema di esistenza ed unicità locale sotto condizioni di Lipschitz fatta usando il teorema delle contrazioni di Banach & Caccioppoli (questo approccio è fondamentalmente dovuto a Caccioppoli).
Ma questo non è l'unico approccio astratto possibile: ad esempio, c'è l'approccio variazionale, inventato da Tonelli e studiato da molti matematici italiani (soprattutto dalla scuola pisana); oppure quello operatoriale, studiato da Hilbert (e dai suoi allievi), Riesz, etc...
Oggigiorno, la situazione non è cambiata molto: le tecniche per provare esistenza di soluzioni a vari problemi riguardanti EDO e PDE sono aumentate (vorrei dire a dismisura) ed ognuno cerca di applicarle al meglio che può per mostrare l'esistenza di soluzioni a problemi interessanti... Certo, non sempre ci si riesce, ma vale sempre la pena tentare.
***
Spero che questa storiella sullo sviluppo delle teoria delle EDO ti abbia interessato un po'.
__________
* Tutti questi filoni sono ancora attivissimi. Basti pensare che solo recentemente si è capito come estendere la teoria del potenziale classica del caso lineare (quella di Poisson e Green, per intenderci) a parecchi tipi interessanti di PDE nonlineari.
"gugo82":Parecchio direi. Ti ringrazio infinitamente. A me piace moltissimo la storia della matematica
Spero che questa storiella sullo sviluppo delle teoria delle EDO ti abbia interessato un po'.
Per la tua gioia, mi sono venute in mente altre domande. Riprendo da qui\[ \begin{cases}
x'(t) = f_1(x(t),y(t),z(t)) \\
y'(t) = f_2(x(t),y(t),z(t)) \\
z'(t) = f_3(x(t),y(t),z(t))
\end{cases}\] Come mi hai giustamente fatto notare tu, riuscire a risolvere questo sistema "a mano" potrebbe essere addirittura impossibile. Ecco:
1) Se non lo posso risolvere, come posso farci che ne so, uno studio qualitativo o qualcos'altro di simile?
2) Supponiamo di essere in una situazione così particolare che ho la possibilità di riuscire a "risolverlo". Magari riesco addirittura a trovarmi una "soluzione esplicita" \[ \gamma(t) = ((x(t),y(t),z(t)) \] oppure anche solo una soluzione in forma chiusa [tipo un intersezione tra superfici o simile]. Esistono "tecniche di controllo" per verificare se ho trovato una soluzione o se ho fatto errori? Forse in questo caso un esempio può essere utile. Ho ritrovato un caso che mi capitò fra le mani tempo fa nel quale veniva richiesto di determinare l'equazione della generica linea del campo vettoriale $F:\Omega \to \RR^3$ definito da \[ F(x,y,z) := ( zlog(y) , xyz , x/z ) \] Impostando i conti saltava fuori \[ \begin{cases}
x'(t) = z(t)log(y(t)) \\
y'(t) = x(t)y(t)z(t) \\
z'(t) = x(t)/z(t)
\end{cases}\] Sembra abbastanza brutto, ma penso sia risolubile. Ad esempio dalla prima equazione vedo che per $y(t) = 1$ c'è una soluzione costante e pertanto e con qualche conto ottengo due "soluzioni costanti"
\[ \begin{cases}
x(t) = A \\
y(t) = 1 \\
z(t) = - \sqrt{2At + C}
\end{cases}\] e \[ \begin{cases}
x(t) = A \\
y(t) = 1 \\
z(t) = \sqrt{2At + C}
\end{cases}\] Mi puoi smentire o confermare fino a qui?Quando cerco invece una soluzione più generale i calcoli si complicano. Non so se è corretto ma dal sistema di partenza \[ \begin{cases}
x'(t) = z(t)log(y(t)) \\
y'(t) = x(t)y(t)z(t) \\
z'(t) = x(t)/z(t)
\end{cases}\] provo a ricavare $x(t) = z(t)z'(t)$ dalla terza e quindi $x'(t) = z(t)z''(t) + (z'(t))^2$ e pertanto essendo privo di idee mi complico inutilmente la vita al seguente modo \[ \begin{cases}
z(t)z''(t) + (z'(t))^2 = z(t)log(y(t))\\
\frac{y'(t)}{y(t)} = z'(t)z^2(t) \\
\to \\
\end{cases}\] \[ \begin{cases}
z(t)z''(t) + (z'(t))^2 = z(t)log(Ae^{\frac{z^3(t)}{3}}) \\
y(t) = Ae^{\frac{z^3(t)}{3}} \\
\to \\
\end{cases}\] \[ \begin{cases}
z(t)z''(t) + (z'(t))^2 - \frac{z^4(t)}{3} - z(t)log(A) = 0 \\
\to \\
\to \\
\end{cases}\] Ogmi passaggio è sempre più brutto del precedente... Esiste davvero qualche cosa che ignoro oppure il sistema non si può punto risolvere? Eppure l'esercizio richiedeva di trovare esplicitamente l'equazione delle linee del campo...
x'(t) = f_1(x(t),y(t),z(t)) \\
y'(t) = f_2(x(t),y(t),z(t)) \\
z'(t) = f_3(x(t),y(t),z(t))
\end{cases}\] Come mi hai giustamente fatto notare tu, riuscire a risolvere questo sistema "a mano" potrebbe essere addirittura impossibile. Ecco:
1) Se non lo posso risolvere, come posso farci che ne so, uno studio qualitativo o qualcos'altro di simile?
2) Supponiamo di essere in una situazione così particolare che ho la possibilità di riuscire a "risolverlo". Magari riesco addirittura a trovarmi una "soluzione esplicita" \[ \gamma(t) = ((x(t),y(t),z(t)) \] oppure anche solo una soluzione in forma chiusa [tipo un intersezione tra superfici o simile]. Esistono "tecniche di controllo" per verificare se ho trovato una soluzione o se ho fatto errori? Forse in questo caso un esempio può essere utile. Ho ritrovato un caso che mi capitò fra le mani tempo fa nel quale veniva richiesto di determinare l'equazione della generica linea del campo vettoriale $F:\Omega \to \RR^3$ definito da \[ F(x,y,z) := ( zlog(y) , xyz , x/z ) \] Impostando i conti saltava fuori \[ \begin{cases}
x'(t) = z(t)log(y(t)) \\
y'(t) = x(t)y(t)z(t) \\
z'(t) = x(t)/z(t)
\end{cases}\] Sembra abbastanza brutto, ma penso sia risolubile. Ad esempio dalla prima equazione vedo che per $y(t) = 1$ c'è una soluzione costante e pertanto e con qualche conto ottengo due "soluzioni costanti"
\[ \begin{cases}
x(t) = A \\
y(t) = 1 \\
z(t) = - \sqrt{2At + C}
\end{cases}\] e \[ \begin{cases}
x(t) = A \\
y(t) = 1 \\
z(t) = \sqrt{2At + C}
\end{cases}\] Mi puoi smentire o confermare fino a qui?Quando cerco invece una soluzione più generale i calcoli si complicano. Non so se è corretto ma dal sistema di partenza \[ \begin{cases}
x'(t) = z(t)log(y(t)) \\
y'(t) = x(t)y(t)z(t) \\
z'(t) = x(t)/z(t)
\end{cases}\] provo a ricavare $x(t) = z(t)z'(t)$ dalla terza e quindi $x'(t) = z(t)z''(t) + (z'(t))^2$ e pertanto essendo privo di idee mi complico inutilmente la vita al seguente modo \[ \begin{cases}
z(t)z''(t) + (z'(t))^2 = z(t)log(y(t))\\
\frac{y'(t)}{y(t)} = z'(t)z^2(t) \\
\to \\
\end{cases}\] \[ \begin{cases}
z(t)z''(t) + (z'(t))^2 = z(t)log(Ae^{\frac{z^3(t)}{3}}) \\
y(t) = Ae^{\frac{z^3(t)}{3}} \\
\to \\
\end{cases}\] \[ \begin{cases}
z(t)z''(t) + (z'(t))^2 - \frac{z^4(t)}{3} - z(t)log(A) = 0 \\
\to \\
\to \\
\end{cases}\] Ogmi passaggio è sempre più brutto del precedente... Esiste davvero qualche cosa che ignoro oppure il sistema non si può punto risolvere? Eppure l'esercizio richiedeva di trovare esplicitamente l'equazione delle linee del campo...
Le uniche soluzioni costanti del sistema sono del tipo \((x(t),y(t),z(t)):=(0,1,z_0)\), con \(z_0\neq 0\); ciò si vede facilmente risolvendo il sistema:
\[
\begin{cases}
z_0\ \log y_0=0\\
x_0\ y_0\ z_0=0\\
\frac{x_0}{z_0}=0
\end{cases}
\]
lì dove è definito, cioè in \(\Omega:=\mathbb{R}\times ]0,+\infty[\times (\mathbb{R}\setminus \{0\})\).
Per determinare esplicitamente le equazioni delle linee di campo, basta determinare due integrali primi del sistema.
Moltiplicando la prima EDO per \(x(t)y(t)\) e la seconda per \(\log y(t)\) e sottraendo m.a.m. si trova:
\[
x(t)\ y(t)\ x^\prime (t) - \log y(t)\ y^\prime (t)=0\; ;
\]
dato che \(y(t)\neq 0\) per ogni soluzione del sistema, si può dividere per \(y(t)\) ed ottenere:
\[
x(t)\ x^\prime (t) -\frac{\log y(t)}{y(t)}\ y^\prime (t)=0\; ;
\]
dato che il primo membro della precedente è la derivata di \( \frac{1}{2} x^2(t) - \frac{1}{2} \log^2 y(t)\), dall'uguaglianza precedente segue che:
\[
x^2(t) - \log^2 y(t) = \text{cost.}\; ,
\]
pertanto la generica linea di campo giace su una superficie di livello della funzione \(\phi (x,y,z) = x^2-\log^2 y\). Ciò equivale a dire che \(\phi\) è un integrale primo del sistema.
Analogamente, moltiplicando la terza equazione m.a.m. per \(y(t)\ z^2(t)\) e tenendo presente la seconda equazione, si vede che:
\[
y(t)\ z^2(t)\ z^\prime (t) - y^\prime (t)=0
\]
da cui, dividendo per \(y(t)\), segue:
\[
z^2 (t)\ z^\prime (t) -\frac{1}{y(t)}\ y^\prime (t)=0\; ;
\]
dato che il primo membro è la derivata della funzione \(\frac{1}{3}\ z(t)-\log y(t)\), dalla precedente segue che:
\[
z(t)-3\ \log y(t) =\text{cost.}\; ,
\]
sicché la generica linea di campo giace su una superficie di livello della funzione \(\psi (x,y,z):= z^3 -3\ \log y\). Ciò equivale a dire che \(\psi\) è un integrale primo del sistema.
Ne consegue che la linea di campo* che passa per il punto \((x_0,y_0,z_0)\in \Omega=\mathbb{R}\times ]0,+\infty[\times (\mathbb{R}\setminus \{0\})\) è quella di equazioni cartesiane:
\[
\begin{cases}
\phi (x,y,z) =\phi (x_0,y_0,z_0)\\
\psi (x,y,z) =\psi (x_0,y_0,z_0)
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad
\begin{cases} x^2 - \log^2 y = x_0^2-\log^2 y_0\\
z^3 -3\ \log y = z_0^3-3\ \log y_0\; .
\end{cases}
\]
[Il tutto, ovviamente, salvo errori di conto...]
__________
* L'articolo determinativo è usato con cognizione di causa: infatti, per ogni \((x_0,y_0,z_0)\in \Omega\) è unica la soluzione del problema di Cauchy:
\[
\begin{cases} x^\prime (t) = z(t)\ \log y(t) &,\ x(0)=x_0\\
y^\prime (t) = x(t)\ y(t)\ z(t) &,\ y(0)=y_0\\
z^\prime (t) = \frac{x(t)}{z(t)} &,\ z(0)=z_0\; .
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
z_0\ \log y_0=0\\
x_0\ y_0\ z_0=0\\
\frac{x_0}{z_0}=0
\end{cases}
\]
lì dove è definito, cioè in \(\Omega:=\mathbb{R}\times ]0,+\infty[\times (\mathbb{R}\setminus \{0\})\).
Per determinare esplicitamente le equazioni delle linee di campo, basta determinare due integrali primi del sistema.
Moltiplicando la prima EDO per \(x(t)y(t)\) e la seconda per \(\log y(t)\) e sottraendo m.a.m. si trova:
\[
x(t)\ y(t)\ x^\prime (t) - \log y(t)\ y^\prime (t)=0\; ;
\]
dato che \(y(t)\neq 0\) per ogni soluzione del sistema, si può dividere per \(y(t)\) ed ottenere:
\[
x(t)\ x^\prime (t) -\frac{\log y(t)}{y(t)}\ y^\prime (t)=0\; ;
\]
dato che il primo membro della precedente è la derivata di \( \frac{1}{2} x^2(t) - \frac{1}{2} \log^2 y(t)\), dall'uguaglianza precedente segue che:
\[
x^2(t) - \log^2 y(t) = \text{cost.}\; ,
\]
pertanto la generica linea di campo giace su una superficie di livello della funzione \(\phi (x,y,z) = x^2-\log^2 y\). Ciò equivale a dire che \(\phi\) è un integrale primo del sistema.
Analogamente, moltiplicando la terza equazione m.a.m. per \(y(t)\ z^2(t)\) e tenendo presente la seconda equazione, si vede che:
\[
y(t)\ z^2(t)\ z^\prime (t) - y^\prime (t)=0
\]
da cui, dividendo per \(y(t)\), segue:
\[
z^2 (t)\ z^\prime (t) -\frac{1}{y(t)}\ y^\prime (t)=0\; ;
\]
dato che il primo membro è la derivata della funzione \(\frac{1}{3}\ z(t)-\log y(t)\), dalla precedente segue che:
\[
z(t)-3\ \log y(t) =\text{cost.}\; ,
\]
sicché la generica linea di campo giace su una superficie di livello della funzione \(\psi (x,y,z):= z^3 -3\ \log y\). Ciò equivale a dire che \(\psi\) è un integrale primo del sistema.
Ne consegue che la linea di campo* che passa per il punto \((x_0,y_0,z_0)\in \Omega=\mathbb{R}\times ]0,+\infty[\times (\mathbb{R}\setminus \{0\})\) è quella di equazioni cartesiane:
\[
\begin{cases}
\phi (x,y,z) =\phi (x_0,y_0,z_0)\\
\psi (x,y,z) =\psi (x_0,y_0,z_0)
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad
\begin{cases} x^2 - \log^2 y = x_0^2-\log^2 y_0\\
z^3 -3\ \log y = z_0^3-3\ \log y_0\; .
\end{cases}
\]
[Il tutto, ovviamente, salvo errori di conto...
]__________
* L'articolo determinativo è usato con cognizione di causa: infatti, per ogni \((x_0,y_0,z_0)\in \Omega\) è unica la soluzione del problema di Cauchy:
\[
\begin{cases} x^\prime (t) = z(t)\ \log y(t) &,\ x(0)=x_0\\
y^\prime (t) = x(t)\ y(t)\ z(t) &,\ y(0)=y_0\\
z^\prime (t) = \frac{x(t)}{z(t)} &,\ z(0)=z_0\; .
\end{cases}
\]
"gugo82":Ecco qual era il "trucco" che non conoscevo [non sono ancora molfo ferrato con questi argomenti]. Ho ancora alcune piccole domande.
Per determinare esplicitamente le equazioni delle linee di campo, basta determinare due integrali primi del sistema.
1) Qual è il significato geometrico di integrale primo? Mi pare di aver intuito che sia una sorta di "soluzione costante", ma riferita ad un campo vettoriale, come lo interpreto? Come una linea del campo vettoriale che è di fatto una retta [o per meglio dire un piaalno] parallelo a qualche direzione?
2) Ecco, tu hai trovato una soluzione scritta come intersezione tra due superfici. C'è qualche tecnica per trovarne un'equazione parametrica?
3) Ma se il campo vettoriale fosse stato conservativo, se riuscivo a scrivermi la funzione potenziale del campo $U(x,y,z)$ e ne tracciavo le linee di livello, non ottenevo ugualmente le linee del campo senza risolvere nessun sistema di EDO?
"magliocurioso":Ecco qual era il "trucco" che non conoscevo [non sono ancora molfo ferrato con questi argomenti]. Ho ancora alcune piccole domande.
[quote="gugo82"]Per determinare esplicitamente le equazioni delle linee di campo, basta determinare due integrali primi del sistema.
1) Qual è il significato geometrico di integrale primo? Mi pare di aver intuito che sia una sorta di "soluzione costante", ma riferita ad un campo vettoriale, come lo interpreto? Come una linea del campo vettoriale che è di fatto una retta [o per meglio dire un piaalno] parallelo a qualche direzione?[/quote]
Un integrale primoe di un sistema differenziale è, per definizione, una funzione che assume valore costante su ogni soluzione del sistema.
Il che vuol dire che le linee di campo si trovano su qualche superfice di livello dell'integrale primo (se esso esiste) del sistema associato al campo.
Ciò ti garantisce, tra l'altro, che il gradiente dell'integrale primo è, punto per punto, ortogonale al campo.
"magliocurioso":
2) Ecco, tu hai trovato una soluzione scritta come intersezione tra due superfici. C'è qualche tecnica per trovarne un'equazione parametrica?
Le tecniche sono sempre le stesse: ad esempio, se sono soddisfatte le ipotesi, si può usare il teorema del Dini per esplicitare due incognite rispetto alla rimanente.
Va da sé, ovviamente, che non sempre è possibile (o utile) passare dalle equazioni cartesiane a quelle parametriche.
"magliocurioso":
3) Ma se il campo vettoriale fosse stato conservativo, se riuscivo a scrivermi la funzione potenziale del campo $U(x,y,z)$ e ne tracciavo le linee di livello, non ottenevo ugualmente le linee del campo senza risolvere nessun sistema di EDO?
Nel caso di campi conservativi, le linee del campo sono le linee di livello del potenziale.
Se invece il campo vettoriale è solenoidale, cosa cambia? Se ci riesco calcolo la funzione potenziale vettore e poi che conclusioni traggo?
Mi rendo conto che forse ho sparato un'altra delle mie boiate: ma esiste una tecnica per calcolare il potenziale vettore?
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