Equazioni del secondo ordine
$y''-10y'+25y=e^(5x)$
Dopo aver risolto l'omogenea associata mi butto sulla completa... Cercando qua e là equazioni simili già risolte c'è sempre qualche passaggio che mi sfugge...
Dopo aver risolto l'omogenea associata mi butto sulla completa... Cercando qua e là equazioni simili già risolte c'è sempre qualche passaggio che mi sfugge...

Risposte
Io userei il metodo degli annichilatori: chiamando con $[D^n](y)$ l'operatore di derivazione n-esima, applicando a destra e a sinistra l'operatore $(D-5)(y)$ si ha che la parte a destra si annulla, mentre a sinistra si ottiene:
$[(D-5)(D^2-10D+25)](y)=0$
Ponendo ora $[D^n](y)=\lambda^n$ si passa alla corrispondente equazione algebrica:
$(\lambda-5)(\lambda^2-10\lambda+25)=0$
La soluzione è $\lambda=5$ tripla, a cui sono associate $e^(5x), xe^(5x), x^2e^(5x)$.
Le prime due sono soluzioni dell'omogenea, l'ultima è una soluzione della particolare.
Sostituendo $ax^2e^{5x}$ nella completa si determina opportunamente il parametro $a$, quindi la soluzione dell'equazione è $C_1e^(5x)+C_2xe^(5x)+\bar{a}x^2e^(5x)$
$[(D-5)(D^2-10D+25)](y)=0$
Ponendo ora $[D^n](y)=\lambda^n$ si passa alla corrispondente equazione algebrica:
$(\lambda-5)(\lambda^2-10\lambda+25)=0$
La soluzione è $\lambda=5$ tripla, a cui sono associate $e^(5x), xe^(5x), x^2e^(5x)$.
Le prime due sono soluzioni dell'omogenea, l'ultima è una soluzione della particolare.
Sostituendo $ax^2e^{5x}$ nella completa si determina opportunamente il parametro $a$, quindi la soluzione dell'equazione è $C_1e^(5x)+C_2xe^(5x)+\bar{a}x^2e^(5x)$
E' una equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti. La forma generale di queste equazioni è:
$ay''+by'+cy=d(x)$ (con $a,b,c$ costanti)
La funzione $d(x)$ viene chiamata termine forzante. Se $d(x)$ è un'espressione del tipo $d(x)=P(x)*e^(gamma*x)$, dove $gamma$ è una costante e $P(x)$ è un polinomio di grado $n$, allora $bar y(x)$ avrà la forma:
(1) $bar y(x)=A(x)*e^(gamma*x)$ se $gamma$ non è radice dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata,
(2) $bar y(x)=xA(x)*e^(gamma*x)$ se $gamma$ è radice semplice dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata,
(3)$bar y(x)=x^2A(x)*e^(gamma*x)$ se $gamma$ è radice doppia dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata,
con $A(x)$, in ogni caso, polinomio di grado $n$ pari al grado di $P(x)$.
Nel nostro caso:
$P(x)=1$ e $gamma=5=$ ad una radice dell'equazione caratteristica
L'integrale generale dell'equazione proposta è del tipo: $y(x)=c_1e^(5x)+c_2e^x+bar y(x)$, con $bar y(x)=Axe^(5x)$ dove il valore della costante $A$ è da determinarsi.
Poi si calcola $bar y'(x)$ e $bar y''(x)$ e determina $A$. E poi si ottiene la soluzione dell'equazione differenziale.
Saluti, Ermanno.
$ay''+by'+cy=d(x)$ (con $a,b,c$ costanti)
La funzione $d(x)$ viene chiamata termine forzante. Se $d(x)$ è un'espressione del tipo $d(x)=P(x)*e^(gamma*x)$, dove $gamma$ è una costante e $P(x)$ è un polinomio di grado $n$, allora $bar y(x)$ avrà la forma:
(1) $bar y(x)=A(x)*e^(gamma*x)$ se $gamma$ non è radice dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata,
(2) $bar y(x)=xA(x)*e^(gamma*x)$ se $gamma$ è radice semplice dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata,
(3)$bar y(x)=x^2A(x)*e^(gamma*x)$ se $gamma$ è radice doppia dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata,
con $A(x)$, in ogni caso, polinomio di grado $n$ pari al grado di $P(x)$.
Nel nostro caso:
$P(x)=1$ e $gamma=5=$ ad una radice dell'equazione caratteristica
L'integrale generale dell'equazione proposta è del tipo: $y(x)=c_1e^(5x)+c_2e^x+bar y(x)$, con $bar y(x)=Axe^(5x)$ dove il valore della costante $A$ è da determinarsi.
Poi si calcola $bar y'(x)$ e $bar y''(x)$ e determina $A$. E poi si ottiene la soluzione dell'equazione differenziale.
Saluti, Ermanno.
"leonardo":
E' una equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti. La forma generale di queste equazioni è:
$ay''+by'+cy=d(x)$ (con $a,b,c$ costanti)
La funzione $d(x)$ viene chiamata termine forzante. Se $d(x)$ è un'espressione del tipo $d(x)=P(x)*e^(gamma*x)$, dove $gamma$ è una costante e $P(x)$ è un polinomio di grado $n$, allora $bar y(x)$ avrà la forma:
(1) $bar y(x)=A(x)*e^(gamma*x)$ se $gamma$ non è radice dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata,
(2) $bar y(x)=xA(x)*e^(gamma*x)$ se $gamma$ è radice semplice dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata,
(3)$bar y(x)=x^2A(x)*e^(gamma*x)$ se $gamma$ è radice doppia dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata,
con $A(x)$, in ogni caso, polinomio di grado $n$ pari al grado di $P(x)$.
Nel nostro caso:
$P(x)=1$ e $gamma=5=$ ad una radice dell'equazione caratteristica
L'integrale generale dell'equazione proposta è del tipo: $y(x)=c_1e^(5x)+c_2e^x+bar y(x)$, con $bar y(x)=Axe^(5x)$ dove il valore della costante $A$ è da determinarsi.
Poi si calcola $bar y'(x)$ e $bar y''(x)$ e determina $A$. E poi si ottiene la soluzione dell'equazione differenziale.
Saluti, Ermanno.
$y(x)=c_1e^(5x)+c_2*x*e^(5x)+bar y(x)$, con $bar y(x)=Ax^2e^(5x)$ con $A$ costante da determinarsi. Si troverà $A=1/2$ per cui
$y(x)=c_1e^(5x)+c_2*x*e^(5x)+1/2x^2*e^(5x)$
Perché non usare il principio di Duhamel?