Equazioni del piano tangente al grafico
Salve
Ho questo problema:
Determinare l'equazioni del piano tangenti al grafico f(x, y) = x^3 + 3xy^2 − 15x − 12y nel punto (1, −1, 1).
Da notare il fatto che il punto abbia z0 e la funzione non abbia z tra le sue variabili.
Io ho utilizzato la seguente formula:
z=f(xo,yo,zo) +fx(xo,yo)(x-xo) +fy(xo,yo)(y-yo)
con la quale ottengo z=-9x-6y+4
Non capisco se sia giusto oppure sbagliato
Grazie
Ho questo problema:
Determinare l'equazioni del piano tangenti al grafico f(x, y) = x^3 + 3xy^2 − 15x − 12y nel punto (1, −1, 1).
Da notare il fatto che il punto abbia z0 e la funzione non abbia z tra le sue variabili.
Io ho utilizzato la seguente formula:
z=f(xo,yo,zo) +fx(xo,yo)(x-xo) +fy(xo,yo)(y-yo)
con la quale ottengo z=-9x-6y+4
Non capisco se sia giusto oppure sbagliato
Grazie
Risposte
Ciao.
Quando si ha una funzione di due variabili espressa in forma esplicita, essa è scrivibile nella forma $z=f(x,y)$.
La stessa funzione può essere comunque "implicitata" in un'altra forma del tipo $F(x,y,z)=0$.
Ora, per trovare l'equazione del piano tangente alla superficie data dal grafico della funzione in un punto $P= (x_0,y_0,z_0)$ appartenenete al grafico (quindi tale che: $F(x_0,y_0,z_0)=0$), occorre che la funzione stessa sia espressa in forma implicita.
Si potrebbe dimostrare che, purchè sussistano determinate ipotesi di continuità e di derivabilità della funzione assegnata, il vettore dato dal gradiente della funzione $F(x,y,z)$ risulta essere perpendicolare al piano tangente ad ogni punto della superficie rappresentata dal grafico della funzione.
Nel tuo esempio si ha:
$z=f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y Rightarrow F(x,y,z)=x^3+3xy^2-15x-12y-z=0$
con $P= (1,-1,1)$
Con un semplice conto si verifica che il punto $P$ appartiene alla superficie costituente il grafico della funzione, cioè che $F(P)=0$.
Ora, calcolando il gradiente di $F(x,y,z)$, si ha:
$vecnabla F(x,y,z)=((delF)/(delx),(delF)/(dely),(delF)/(delz))=(3x^2+3y^2-15,6xy-12,-1)$
Quindi:
$vecnabla F(P)=vecnabla F(1,-1,1)=(-9,-18,-1)$
A questo punto si prende il generico vettore $vecv=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=(x-1,y+1,z-1)$ contenuto nel piano cercato e applicato al punto $P$ e si richiede che questo sia perpendicolare al vettore gradiente calcolato in $P$:
$vecnabla F(P)*vecv=0 Rightarrow (-9,-18,-1)*(x-1,y+1,z-1)=0 Rightarrow -9x+9-18y-18-z+1=0$
Quindi l'equazione (meglio: una delle equazioni) del piano tangente cercato è data da:
$9x+18y+z+8=0$ (cambiando i segni a tutti i termini).
Saluti.
Quando si ha una funzione di due variabili espressa in forma esplicita, essa è scrivibile nella forma $z=f(x,y)$.
La stessa funzione può essere comunque "implicitata" in un'altra forma del tipo $F(x,y,z)=0$.
Ora, per trovare l'equazione del piano tangente alla superficie data dal grafico della funzione in un punto $P= (x_0,y_0,z_0)$ appartenenete al grafico (quindi tale che: $F(x_0,y_0,z_0)=0$), occorre che la funzione stessa sia espressa in forma implicita.
Si potrebbe dimostrare che, purchè sussistano determinate ipotesi di continuità e di derivabilità della funzione assegnata, il vettore dato dal gradiente della funzione $F(x,y,z)$ risulta essere perpendicolare al piano tangente ad ogni punto della superficie rappresentata dal grafico della funzione.
Nel tuo esempio si ha:
$z=f(x,y)=x^3+3xy^2-15x-12y Rightarrow F(x,y,z)=x^3+3xy^2-15x-12y-z=0$
con $P= (1,-1,1)$
Con un semplice conto si verifica che il punto $P$ appartiene alla superficie costituente il grafico della funzione, cioè che $F(P)=0$.
Ora, calcolando il gradiente di $F(x,y,z)$, si ha:
$vecnabla F(x,y,z)=((delF)/(delx),(delF)/(dely),(delF)/(delz))=(3x^2+3y^2-15,6xy-12,-1)$
Quindi:
$vecnabla F(P)=vecnabla F(1,-1,1)=(-9,-18,-1)$
A questo punto si prende il generico vettore $vecv=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=(x-1,y+1,z-1)$ contenuto nel piano cercato e applicato al punto $P$ e si richiede che questo sia perpendicolare al vettore gradiente calcolato in $P$:
$vecnabla F(P)*vecv=0 Rightarrow (-9,-18,-1)*(x-1,y+1,z-1)=0 Rightarrow -9x+9-18y-18-z+1=0$
Quindi l'equazione (meglio: una delle equazioni) del piano tangente cercato è data da:
$9x+18y+z+8=0$ (cambiando i segni a tutti i termini).
Saluti.
\[ F(\gamma(t))=0, \quad \forall t\in [a,b], \]
Questa mi è piaciuta. La dimostrazione non è difficile, basta ricordare che il piano tangente una superficie $S$ in un punto $p$ è quello che contiene tutti i vettori velocità in $p$ delle curve contenute in $S$ e passanti per $p$. Se \(\gamma\colon [a, b]\to S\) è una curva con queste proprietà, allora si ha
\[
F(\gamma(t))=0, \quad \forall t\in [a,b], \]
e in particolare, differenziando in $t_0$ (dove $\gamma(t_0)=p$),
\[
\nabla(F)(p)\cdot \dot{\gamma}(t_0)=0, \]
da cui la proprietà di $\nabla F(p)$ di essere normale al piano tangente.
Ho voluto scrivere questa dimostrazione perché è semplice e secondo me utile per ricordarsi velocemente l'equazione del piano tangente.
"alessandro8":
Ciao.
Quando si ha una funzione di due variabili espressa in forma esplicita, essa è scrivibile nella forma $z=f(x,y)$.
La stessa funzione può essere comunque "implicitata" in un'altra forma del tipo $F(x,y,z)=0$.
Ora, per trovare l'equazione del piano tangente alla superficie data dal grafico della funzione in un punto $P= (x_0,y_0,z_0)$ appartenenete al grafico (quindi tale che: $F(x_0,y_0,z_0)=0$), occorre che la funzione stessa sia espressa in forma implicita.
Si potrebbe dimostrare che, purchè sussistano determinate ipotesi di continuità e di derivabilità della funzione assegnata, il vettore dato dal gradiente della funzione $F(x,y,z)$ risulta essere perpendicolare al piano tangente ad ogni punto della superficie rappresentata dal grafico della funzione.
Questa mi è piaciuta. La dimostrazione non è difficile, basta ricordare che il piano tangente una superficie $S$ in un punto $p$ è quello che contiene tutti i vettori velocità in $p$ delle curve contenute in $S$ e passanti per $p$. Se \(\gamma\colon [a, b]\to S\) è una curva con queste proprietà, allora si ha
\[
F(\gamma(t))=0, \quad \forall t\in [a,b], \]
e in particolare, differenziando in $t_0$ (dove $\gamma(t_0)=p$),
\[
\nabla(F)(p)\cdot \dot{\gamma}(t_0)=0, \]
da cui la proprietà di $\nabla F(p)$ di essere normale al piano tangente.
Ho voluto scrivere questa dimostrazione perché è semplice e secondo me utile per ricordarsi velocemente l'equazione del piano tangente.
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