Equazioni con i Numeri Complessi
Buonasera, vorrei fare una domanda riguardo equazioni in campo complesso.
Data questa equazione: $ z/(1+|z|)=9/(4\bar z) $
Ed una volta averla trasformata così, dopo alcuni passaggi algebrici: $ 4|z|^2-9|z|=9 $
Considerato che z=x+iy, vado a sostituire nell'equazione, trovando: $ 4x^2+4y^2-9\sqrt{x^2+y^2} -9=0 $
Ora, il mio prossimo passo sarebbe quello di andare a separare parte Reale e parte Immaginaria, ma, in questo caso, la parte Immaginaria è assente. La mia domanda è: in casi come questo, come bisognerebbe procedere?
Data questa equazione: $ z/(1+|z|)=9/(4\bar z) $
Ed una volta averla trasformata così, dopo alcuni passaggi algebrici: $ 4|z|^2-9|z|=9 $
Considerato che z=x+iy, vado a sostituire nell'equazione, trovando: $ 4x^2+4y^2-9\sqrt{x^2+y^2} -9=0 $
Ora, il mio prossimo passo sarebbe quello di andare a separare parte Reale e parte Immaginaria, ma, in questo caso, la parte Immaginaria è assente. La mia domanda è: in casi come questo, come bisognerebbe procedere?
Risposte
In questo specifico caso ti puoi ricondurre semplicemente ad un'equazione di secondo grado:\[4|z|^2-9|z|-9=0\iff |z|=3\]avendo escluso la soluzione $-3/4$ dell'equazione $4X^2-9X-9=0$ perché negativa e non soddisfacibile da un modulo di un numero complesso. Quindi soddisfano l'equazione tutti i numeri complessi di modulo 3. Ciao!
"DavideGenova":
In questo specifico caso ti puoi ricondurre semplicemente ad un'equazione di secondo grado:\[4|z|^2-9|z|-9=0\iff |z|=3\]avendo escluso la soluzione $-3/4$ dell'equazione $4X^2-9X-9=0$ perché negativa e non soddisfacibile da un modulo di un numero complesso. Quindi soddisfano l'equazione tutti i numeri complessi di modulo 3. Ciao!
Davide, grazie mille per la risposta!
Però non capisco una cosa: quest'equazione deve avere come risultati $ z=3 $ $ z=-3 $.
Ora, sapendo che $ |z|=3 $ come trovo l'argomento di z in modo tale che, sfruttando la formula $ rho(cos(phi+2kpi)+isen(phi+2kpi)) $ , in questo caso con $ k=0,1 $ , torvo le soluzioni dell'equazione, e cioè $ z=+-3 $ ?
La soluzione non è $z=\pm 3$ ma $|z|=3$.
L'argomento non è determinato, cioè la soluzione è la circonferenza di raggio 3 centrata nell'origine.
L'argomento non è determinato, cioè la soluzione è la circonferenza di raggio 3 centrata nell'origine.
Ok. Capito.
Grazie delle risposte!
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