Equazioni complesse con coniugati e/o moduli
Salve a tutti, sono nuovo, apro questo thread per chiedere dei chiarimenti sulle equazioni complesse ed in particolare quelle nelle quali si presentano moduli e/o coniugati. Mi sto "scervellando" da un po' su alcuni esercizi di questo tipo e probabilmente mi manca qualche metodo, che magari accomuna questi esercizi su cui mi sono bloccato, dato che tanti altri mi sono usciti senza problemi. Ecco gli esercizi coi quali non so come proseguire dopo qualche stentato passaggio:
1) \(\displaystyle z|z| -2z +i =0 \)
2) \(\displaystyle z^2 +iz* =1 \) (quel z* sarebbe z coniugato)
3) \(\displaystyle z^3 = |z|^4 \)
Dovrebbero essere abbastanza banali ma tant'è che mi ci sto bloccando
Vi ringrazio in anticipo, saluti!
1) \(\displaystyle z|z| -2z +i =0 \)
2) \(\displaystyle z^2 +iz* =1 \) (quel z* sarebbe z coniugato)
3) \(\displaystyle z^3 = |z|^4 \)
Dovrebbero essere abbastanza banali ma tant'è che mi ci sto bloccando
Vi ringrazio in anticipo, saluti!
Risposte
come già mi è capitato di dire in altre occasioni,penso che la strada migliore sia quella di porre z nella forma $z=x+iy$
Grazie della risposta, ci ho provato ma poi fra radici e i sparse a caso mi blocco :/
non mi sembra così complicato
ad esempio nel primo esercizio si arriva all'equazione
$xsqrt(x^2+y^2)-2x+i(sqrt(x^2+y^2)y-2y+1)=0$
che equivale al sistema
$x(sqrt(x^2+y^2)-2)=0$
$sqrt(x^2+y^2)y-2y+1=0$
la prima equazione del sistema ha 2 soluzioni
$x=0$
oppure
$sqrt(x^2+y^2)=2$
ad esempio nel primo esercizio si arriva all'equazione
$xsqrt(x^2+y^2)-2x+i(sqrt(x^2+y^2)y-2y+1)=0$
che equivale al sistema
$x(sqrt(x^2+y^2)-2)=0$
$sqrt(x^2+y^2)y-2y+1=0$
la prima equazione del sistema ha 2 soluzioni
$x=0$
oppure
$sqrt(x^2+y^2)=2$
Ecco dov'era il mio problema, non ricordavo proprio di poter impostare il sistema separando la parte immaginaria dalla reale 
Comunque continuando il primo esercizio, come hai indicato tu stesso, alla prima equazione del sistema vengono le soluzioni \(\displaystyle x=0 \) e \(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2} =2 \).. La seconda la possiamo subito eliminare perchè la seconda equazione del sistema, con essa, darebbe \(\displaystyle 1=0 \). A questo punto sostituisco \(\displaystyle x=0 \) nella seconda equazione, e mi vengono due equazioni: \(\displaystyle y^2 -2y+1=0 \) e \(\displaystyle -y^2 -2y-1=0 \) e a quanto pare mi dovrebbe uscire, almeno il primo esercizio.. Domani continuo con gli altri per verificare se ricordandomi questo procedimento riesco a risolverli (e per fare un po' di pratica che mi manca proprio
), nel frattempo grazie mille per l'aiuto!
Comunque continuando il primo esercizio, come hai indicato tu stesso, alla prima equazione del sistema vengono le soluzioni \(\displaystyle x=0 \) e \(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2} =2 \).. La seconda la possiamo subito eliminare perchè la seconda equazione del sistema, con essa, darebbe \(\displaystyle 1=0 \). A questo punto sostituisco \(\displaystyle x=0 \) nella seconda equazione, e mi vengono due equazioni: \(\displaystyle y^2 -2y+1=0 \) e \(\displaystyle -y^2 -2y-1=0 \) e a quanto pare mi dovrebbe uscire, almeno il primo esercizio.. Domani continuo con gli altri per verificare se ricordandomi questo procedimento riesco a risolverli (e per fare un po' di pratica che mi manca proprio
), nel frattempo grazie mille per l'aiuto!
la terza però secondo me è più semplice in forma polare
$rho^3e^(itheta)=rho^4$
$rho^3e^(itheta)=rho^4$
"walter89":
la terza però secondo me è più semplice in forma polare
$ rho^3e^(itheta)=rho^4 $
oppure si potrebbe osservare che,essendo $|z|^4$ un numero reale non negativo,basta risolvere l'equazione $x^3=x^4$
Ok ragazzi sono riuscito a fare tutto e a riprendere un po' di pratica, anche con altri esercizi, su questi argomenti.
Grazie mille per l'aiuto
Grazie mille per l'aiuto
Molte volte, anzi il più delle volte, ragionare su un problema conviene di più che fare meccanicamente i conti.
Ad esempio, prendi la prima equazione assegnata, i.e. \(z |z| - 2 z + \imath =0\); essa si riscrive:
\[
(|z|-2)\ z = -\imath
\]
e ci sta dicendo che le eventuali soluzioni sono dei numeri complessi \(z\) che moltiplicati per il numero reale \(|z|-2\) danno l'unità immaginaria \(\imath\), che è un numero immaginario puro. Da ciò segue che ogni soluzione \(z\) è necessariamente un numero immaginario puro, cioé un numero nella forma \(\imath y\) con \(y\in \mathbb{R}\) (infatti, solo in questo modo è possibile ottenere da \(z\) il numero immaginario puro per moltiplicazione con un numero reale); pertanto sostituendo \(z=\imath y\) nell'equazione troviamo:
\[
(|y|-2) \imath\ y =\imath \qquad \Leftrightarrow \qquad (|y|-2)\ y=1
\]
che è una banale equazione col valore assoluto e si risolve in due minuti.
Ad esempio, prendi la prima equazione assegnata, i.e. \(z |z| - 2 z + \imath =0\); essa si riscrive:
\[
(|z|-2)\ z = -\imath
\]
e ci sta dicendo che le eventuali soluzioni sono dei numeri complessi \(z\) che moltiplicati per il numero reale \(|z|-2\) danno l'unità immaginaria \(\imath\), che è un numero immaginario puro. Da ciò segue che ogni soluzione \(z\) è necessariamente un numero immaginario puro, cioé un numero nella forma \(\imath y\) con \(y\in \mathbb{R}\) (infatti, solo in questo modo è possibile ottenere da \(z\) il numero immaginario puro per moltiplicazione con un numero reale); pertanto sostituendo \(z=\imath y\) nell'equazione troviamo:
\[
(|y|-2) \imath\ y =\imath \qquad \Leftrightarrow \qquad (|y|-2)\ y=1
\]
che è una banale equazione col valore assoluto e si risolve in due minuti.
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