Equazioni complesse
Ragazzi ho questa equazione
$(z-i)^2 (bar z + i) = 8$
Dunque, ponendo a=Rez e b=Imz ottengo:
$(a-i(i-b))^2 (a+i(1-b))=8$
Pongo $ c=a+i(1-b)$
Quindi:
$bar c^2 *c=8$
r= modulo , a=argomento
$r^3 e^(-i*a)=2^3$
Dunque c=2
Ora risolvo:
$a+i-ib=z=2$
Da cui
$ z=2+i$
Ho perso qualche soluzione per strada? :O
In più, non sapete quanto odi le equazioni complesse, non abbiamo praticamente mai svolto esercizi a riguardo e spessissimo finisco per perdermi in un bicchier d'acqua.
Avete dispense da consigliarmi? Magari che evitino quelle pesantissime risoluzioni per sistema (distratto come sono non riuscirò mai a portarne a termine una
).
$(z-i)^2 (bar z + i) = 8$
Dunque, ponendo a=Rez e b=Imz ottengo:
$(a-i(i-b))^2 (a+i(1-b))=8$
Pongo $ c=a+i(1-b)$
Quindi:
$bar c^2 *c=8$
r= modulo , a=argomento
$r^3 e^(-i*a)=2^3$
Dunque c=2
Ora risolvo:
$a+i-ib=z=2$
Da cui
$ z=2+i$
Ho perso qualche soluzione per strada? :O
In più, non sapete quanto odi le equazioni complesse, non abbiamo praticamente mai svolto esercizi a riguardo e spessissimo finisco per perdermi in un bicchier d'acqua.
Avete dispense da consigliarmi? Magari che evitino quelle pesantissime risoluzioni per sistema (distratto come sono non riuscirò mai a portarne a termine una
).
Risposte
No, non hai perso nessuna soluzione. 
Il consiglio che posso darti è: guarda bene prima di cominciare a fare conti.
Ad esempio, si vede subito (anche senza sostituire [tex]$z=a+\imath b$[/tex]) che [tex]$\overline{z-\imath} =\overline{z} +\imath$[/tex], cosicché la tua equazione si riscrive:
[tex]$(z-\imath)^2 (\overline{z-\imath}) =8 \quad \Leftrightarrow \quad (z-\imath) |z-\imath|^2=8$[/tex];
Posto [tex]$\zeta=z-\imath$[/tex], l'ultima delle precedenti ti dice che [tex]$\zeta$[/tex] è un numero reale positivo (difatti se [tex]$\zeta$[/tex] avesse parte immaginaria [tex]$\neq 0$[/tex] il prodotto [tex]$\zeta\ |\zeta|^2$[/tex] avrebbe parte immaginaria [tex]$\neq 0$[/tex], contro il fatto che [tex]$\text{Im} (\zeta |\zeta |^2)=\text{Im} (8)=0$[/tex]; analogamente se una soluzione [tex]$\zeta$[/tex] fosse reale e [tex]$\leq 0$[/tex] allora sarebbe anche [tex]$\zeta \ |\zeta|^2 \leq 0$[/tex], contro il fatto che [tex]$\zeta \ |\zeta|^2 =8$[/tex]): pertanto si tratta di risolvere in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] l'equazione [tex]$\zeta^3=8$[/tex], che si risolve a colpo sicuro...
Il consiglio che posso darti è: guarda bene prima di cominciare a fare conti.
Ad esempio, si vede subito (anche senza sostituire [tex]$z=a+\imath b$[/tex]) che [tex]$\overline{z-\imath} =\overline{z} +\imath$[/tex], cosicché la tua equazione si riscrive:
[tex]$(z-\imath)^2 (\overline{z-\imath}) =8 \quad \Leftrightarrow \quad (z-\imath) |z-\imath|^2=8$[/tex];
Posto [tex]$\zeta=z-\imath$[/tex], l'ultima delle precedenti ti dice che [tex]$\zeta$[/tex] è un numero reale positivo (difatti se [tex]$\zeta$[/tex] avesse parte immaginaria [tex]$\neq 0$[/tex] il prodotto [tex]$\zeta\ |\zeta|^2$[/tex] avrebbe parte immaginaria [tex]$\neq 0$[/tex], contro il fatto che [tex]$\text{Im} (\zeta |\zeta |^2)=\text{Im} (8)=0$[/tex]; analogamente se una soluzione [tex]$\zeta$[/tex] fosse reale e [tex]$\leq 0$[/tex] allora sarebbe anche [tex]$\zeta \ |\zeta|^2 \leq 0$[/tex], contro il fatto che [tex]$\zeta \ |\zeta|^2 =8$[/tex]): pertanto si tratta di risolvere in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] l'equazione [tex]$\zeta^3=8$[/tex], che si risolve a colpo sicuro...
Ti ringrazio Gugo , continuerò ad esercitarmi e vedremo! Queste maledette equazioni complesse, avendole fin troppo sottovalutate, sono il mio punto debole .
, continuerò ad esercitarmi e vedremo! Queste maledette equazioni complesse, avendole fin troppo sottovalutate, sono il mio punto debole .
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