Equazioni complesse
Salve a tutti, non so come svolgere le seguenti equazioni complesse:
1) $\bar z^5$$=$$-1/z^2$
2) $\bar z^2$+$z^2$$=$$1/(1+i)^8$
3) $z^3$$=[(sqrt(3)+i)/(1-i)]^3$
qualche consiglio sullo svolgimento?
Grazie
1) $\bar z^5$$=$$-1/z^2$
2) $\bar z^2$+$z^2$$=$$1/(1+i)^8$
3) $z^3$$=[(sqrt(3)+i)/(1-i)]^3$
qualche consiglio sullo svolgimento?
Grazie
Risposte
Per la prima: prova a scrivere il numero complesso in forma polare $z=\rho e^{i\theta}$. La seconda non si capisce.
ok ora si vedono tutte e 3... una faticaccia 
La seconda secondo me si può risolvere ponendo \(\displaystyle z= x +iy \) e facendo i calcoli, ma non ho provato 
La seconda si può risolvere immediatamente rendendosi conto che a sinistra c'è una quantità reale mentre a destra una complessa, per cui...
Per la terza, basta applicare la definizione di radice terza di un numero complessa (trasforma il numero in forma trigonometrica e poi applica la formuletta).
Per la terza, basta applicare la definizione di radice terza di un numero complessa (trasforma il numero in forma trigonometrica e poi applica la formuletta).
nella prima ho trovato 3 soluzioni :
$z=1,z=-1/2+isqrt(3)/2,z=-1/2-isqrt(3)/2$
sono corrette?
$z=1,z=-1/2+isqrt(3)/2,z=-1/2-isqrt(3)/2$
sono corrette?
Sì.
queste invece mi sono venute nelle terza:
$z=root(3)(2sqrt(2))(cos(5/12pi)+isen(5/12pi))$
$z=root(3)(2sqrt(2))(cos(13/12pi)+isen(13/12pi))$
$z=root(3)(2sqrt(2))(cos(7/4pi)+isen(7/4pi))$
vanno bene?
$z=root(3)(2sqrt(2))(cos(5/12pi)+isen(5/12pi))$
$z=root(3)(2sqrt(2))(cos(13/12pi)+isen(13/12pi))$
$z=root(3)(2sqrt(2))(cos(7/4pi)+isen(7/4pi))$
vanno bene?
nella seconda dovrei ottenere 2 radici reali?
non mi aiuta nessuno?
Quello che dicevo riguardo la seconda: osserva che
$\bar{z}^2+z^2=\mathrm{Re}(z^2)$
e pertanto è un numero reale. D'altra parte
$(1+i)^8=[(1+i)^2]^4=[1-1+2i]^4=16$
Pertanto, dal momento che se $z=x+iy$ si ha $z^2=x^2-y^2+2ixy$, l'equazione diventa
$2(x^2-y^2)=1/{16}$ o anche $32 x^2-32 y^2=1$.
La precedente è l'equazione di una iperbole equilatera, relativa agli assi, di semiasse $a=1/{4\sqrt{2}}$ e asintoti le bisettrici dei quadranti.
$\bar{z}^2+z^2=\mathrm{Re}(z^2)$
e pertanto è un numero reale. D'altra parte
$(1+i)^8=[(1+i)^2]^4=[1-1+2i]^4=16$
Pertanto, dal momento che se $z=x+iy$ si ha $z^2=x^2-y^2+2ixy$, l'equazione diventa
$2(x^2-y^2)=1/{16}$ o anche $32 x^2-32 y^2=1$.
La precedente è l'equazione di una iperbole equilatera, relativa agli assi, di semiasse $a=1/{4\sqrt{2}}$ e asintoti le bisettrici dei quadranti.
Io avevo fatto la sostituzione $z= x+iy$ e avevo ottenuto proprio $32x^2−32y^2=1$, non ho capito o meglio non so che significa $mathrm{Re}$.
Per la terza sono corrette le soluzioni?
Per la terza sono corrette le soluzioni?
Scusa, problema di visualizzazione: intendevo la parte reale di $z^2$.
La terza mi sembra corretta.
La terza mi sembra corretta.
ok grazie mille
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