Equazioni Cauchy-Riemann
Sto studiando una possibile dimostrazione che data una funzione [tex]$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$[/tex] con [tex]f: \mathbb{C}\supseteq \Omega \rightarrow \mathbb{C}$[/tex] essa è olomorfa se e solo se soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann. Ho compreso la dimostrazione della necessità ed adesso sto vedendo di dimostrare la sufficienza.
Nella dimostrazione ad un certo punto appare questo:
[tex]$\Delta u=u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x, y)=\{u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x,y+\Delta y)\}+\{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)\}=(\frac{\delta u}{\delta x}+\epsilon_1)\Delta x+(\frac{\delta u}{\delta y}+\eta_1)\Delta y=\frac{\delta u}{\delta x}\Delta x+\frac{\delta u}{\delta y}\Delta y+\epsilon_1 \Delta x+\eta_1 \Delta y$[/tex]
Dove [tex]$\epsilon_1 \rightarrow 0$[/tex] e [tex]$\eta_1 \rightarrow 0$[/tex] quando [tex]$\Delta x \rightarrow 0$[/tex] e [tex]$\Delta y \rightarrow 0$[/tex]
Non riesco a capire come arriva alla penultima uguaglianza.
Nella dimostrazione ad un certo punto appare questo:
[tex]$\Delta u=u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x, y)=\{u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x,y+\Delta y)\}+\{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)\}=(\frac{\delta u}{\delta x}+\epsilon_1)\Delta x+(\frac{\delta u}{\delta y}+\eta_1)\Delta y=\frac{\delta u}{\delta x}\Delta x+\frac{\delta u}{\delta y}\Delta y+\epsilon_1 \Delta x+\eta_1 \Delta y$[/tex]
Dove [tex]$\epsilon_1 \rightarrow 0$[/tex] e [tex]$\eta_1 \rightarrow 0$[/tex] quando [tex]$\Delta x \rightarrow 0$[/tex] e [tex]$\Delta y \rightarrow 0$[/tex]
Non riesco a capire come arriva alla penultima uguaglianza.
Risposte
Sostituisce i rapporti incrementali con le derivate parziali più un termine infinitesimo.
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