Equazioni autonome del second'ordine

[Plepp]

Salve ragazzi. Mi ritrovo davanti un P.d.C. del genere:
\[
\begin{cases}
y''=(y')^3\sin y =:f(t,y,y')\\
y(0)=0\\
y'(0)=1
\end{cases}
\]
L'equazione è del second'ordine e in $f$ manca la dipendenza da $t$.

Gli appunti presi a lezione sull'argomento si riducono a una mezza paginetta di quaderno, e sinceramente non ci ho capito un accidente (la cosa non mi sorprende: in rete trovo una dispensa di tredici pagine che tratta solo di questo ). Il testo che uso non migliora per niente la situazione.

Qualcuno di buona volontà che mi spiega?

[gugo82]

Il trucco standard è quello di considerare come variabile indipendente la \(y\).

In altre parole, si pone:
\[
y^\prime = u(y)
\]
sicché:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime}(t) &= \frac{\text{d}}{\text{d} t} y^\prime (t) \\
&= \frac{\text{d} y}{\text{d} t}\ \left[\frac{\text{d}}{\text{d} y} u(y)\right]\\
&= y^\prime (t)\ \dot{u}(y)\\
&= u(y)\ \dot{u}(y)
\end{split}
\]
(col pallino ho denotato derivazione rispetto ad \(y\), mentre con l'apice la solita derivazione rispetto a \(t\)) e la EDO diventa del primo ordine a variabili separabili:
\[
u(y)\ \dot{u}(y) = u^3(y)\ \sin y
\]
con condizione iniziale:
\[
u(0)=1
\]
(che si ricava usando entrambe le condizioni del PdC originario).

Ovviamente, tutto ciò andrebbe fatto dopo uno studio qualitativo (almeno locale) delle soluzioni.

[Plepp]

Ciao Gugo, grazie per l'attenzione

Vediamo se ho capito: $u$ denoterebbe la terza variabile da cui dipende $f$, giusto? In tal caso, come posso dire così con tranquillità che è possibile esprimere $u$ in funzione di $y$? E' questo che non riesco a capire, in sostanza.

[gugo82]

"Plepp":Vediamo se ho capito: $u$ denoterebbe la terza variabile da cui dipende $f$, giusto?

Yes.

"Plepp":In tal caso, come posso dire così con tranquillità che è possibile esprimere $u$ in funzione di $y$? E' questo che non riesco a capire, in sostanza.

Beh... Diciamo che è un educated guess.

Dato che la variabile indipendente originaria \(t\) non compare esplicitamente nella EDO, il comportamento della soluzione dipende unicamente dalla ordinata \(y(t)\) e dalla pendenza \(y^\prime (t)\), ma non dall'ascissa \(t\)... In altre parole, se hai due punti distinti \(t_1

Cita

Segnala

[Plepp]

"gugo82":
[...] allora i grafici di \(y_1(t)\) ed \(y_2(t)\) sono sovrapponibili usando un'opportuna traslazione

Non riesco a vederlo

[gugo82]

Considera i due PdC:
\[
\begin{cases} y^{\prime \prime}(t) = f\big( y(t),y^\prime (t)\big)\\
y(t_1) = \eta \\
y^\prime (t_1) = \theta
\end{cases}
\]
e:
\[
\begin{cases} y^{\prime \prime}(t) = f\big( y(t),y^\prime (t)\big)\\
y(t_2) = \eta\\
y^\prime (t_2) = \theta
\end{cases}
\]
(che differiscono solo per l'ascissa del dato iniziale), con \(t_1,t_2,\eta,\theta\) fissati in modo opportuno ed \(f\) "sufficientemente buona" in modo da avere, almeno localmente, esistenza ed unicità della soluzione.
Ti mostro che la soluzione locale \(y(\cdot;t_2;\eta,\theta)\) del secondo problema si può ottenere dalla soluzione locale \(y(\cdot; t_1;\eta , \theta)\) del primo problema usando un'opportuna traslazione.
A tal uopo, considera la funzione \(Y(\cdot)\) definita ponendo:
\[
Y(t):= y(t\underbrace{\color{maroon}{-t_2+t_1}}_{\text{traslazione}};t_1;\eta,\theta)\; ;
\]
essa soddisfa:
\[
Y(t_2) = y(t_1;t_1;\eta,\theta) =\eta
\]
e d'altra parte si ha pure:
\[
Y^\prime (t) = y^\prime (t-t_2+t_1;t_1;\eta , \theta)\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} [t-t_2+t_1] = y^\prime (t-t_2+t_1;t_1;\eta , \theta)\; ,
\]
cosicché:
\[
Y^\prime (t_2) = y^\prime (t_1;t_1;\eta , \theta) = \theta\; ;
\]
infine, per lo stesso motivo di cui sopra hai:
\[
Y^{\prime \prime}(t) = y^{\prime \prime}(t-t_2+t_1;t_1;\eta , \theta)\; ,
\]
dunque la funzione \(Y(\cdot)\) soddisfa:
\[
\begin{split}
Y^{\prime \prime}(t) &= y^{\prime \prime}(t-t_2+t_1;t_1;\eta , \theta) \\
&= f\left( y(t-t_2+t_1;t_1;\eta , \theta), y^\prime (t-t_2+t_1;t_1;\eta , \theta) \right) \\
&= f\left( Y(t), Y^\prime (t)\right)\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente \(Y(\cdot)\) è la soluzione locale del secondo PdC (quello con ascissa iniziale in \(t_2\)) e, stante il regime di unicità locale, hai necessariamente:
\[
y(t;t_2;\eta, \theta) = Y(t) = y(t-t_2+t_1;t_1;\eta ,\theta)
\]
localmente intorno a \(t_2\), perciò i grafici di \(y(\cdot ;t_2;\eta, \theta)\) e \(y(\cdot ;t_1;\eta, \theta)\) differiscono per una traslazione lungo le ascisse (per la precisione, una traslazione di \(t_2-t_1\)).

[Plepp]

"gugo82":[...] ed \(f\) "sufficientemente buona" in modo da avere, almeno localmente, esistenza ed unicità della soluzione.

Che baccalà non avevo pensato di fare ipotesi su $f$, e non riuscivo a concludere...Ottimo, grazie mille Gugo

Mi sembra però che assumere di poter esprimere $y'$ in funzione di $y$ non sia sempre un'ipotesi così "educata". Per esempio, mi pare che qui:
\[\begin{cases}
y''=(y')^2/y-2y\\
y(0)=1\\
y'(0)=0
\end{cases}
\]
il metodo fallisca. L'unica soluzione del problema è $y(x)=e^{-x^2}$, e intorno all'origine $y'$ prende valori diversi alla quota $y$, dunque non si può esprimere $y'$ in funzione di $y$.[nota]Avevo pensato a $y(x)=x^2$, ma mi avresti mandato a quel paese [/nota]

Insomma, se si tratta di un esercizio del tema d'esame posso star tranquillo; in altri contesti avrei bisogno di qualche "test" da fare per verificare a priori l'efficacia del trucco

[gugo82]

"Plepp":[quote="gugo82"][...] ed \(f\) "sufficientemente buona" in modo da avere, almeno localmente, esistenza ed unicità della soluzione.

Che baccalà non avevo pensato di fare ipotesi su $f$, e non riuscivo a concludere...Ottimo, grazie mille Gugo [/quote]
Prego.

"Plepp":Mi sembra però che assumere di poter esprimere $y'$ in funzione di $y$ non sia sempre un'ipotesi così "educata". Per esempio, mi pare che qui:
\[\begin{cases}
y''=(y')^2/y-2y\\
y(0)=1\\
y'(0)=0
\end{cases}
\]
il metodo fallisca. L'unica soluzione del problema è $y(x)=e^{-x^2}$, e intorno all'origine $y'$ prende valori diversi alla quota $y$, dunque non si può esprimere $y'$ in funzione di $y$.

E perché mai?
Mi pare che il concetto di funzione ti dica proprio che la variabile "dipendente" (\(y^\prime\) in questo caso) vari quando varia la variabile "indipendente" (\(y\) in questo caso)... Quindi non capisco cosa c'entri il fatto che anche \(y^\prime\) possa variare.

Ad ogni modo, applicando il metodo da me descritto alla tua EDO si ottiene il PdC:
\[
\begin{cases}
u(y)\ \dot{u}(y) = \frac{u^2(y)-2y^2}{y}\\
u(1)=0
\end{cases}
\]
che non è ben posto, in quanto il coefficiente della \(\dot{u}\) si annulla nel punto iniziale. Quindi il problema, questa volta è che facendo la sostituzione di variabile si ottiene una EDO singolare.
Questo problema si può superare in diversi modi.
Il primo è passare ad una formulazione un po' più debole del problema, quale ad esempio:
\[
\begin{cases}
u(y)\ \dot{u}(y) = \frac{u^2(y)-2y^2}{y}\\
u(1)=\varepsilon
\end{cases}
\]
per poi mandare \(\varepsilon \to 0^+\).
La secondo è risolvere brutalmente la EDO (come facevano i vecchi antichi ) e sperare che i calcoli non vengano brutti.[nota]La EDO, riscritta in forma normale, è a secondo membro omogeneo di grado \(0\) e si riconduce a variabili separabili con la solita sostituzione \(u(y) =y w(y)\).[/nota]
Il terzo è trovare un cambiamento di variabile migliore per la EDO originaria (come erano abituati a fare i vecchi antichi quando i conti erano troppo complicati ).
Una delle sostituzioni possibili è, ad esempio:
\[
y(t)=e^{z(t)}
\]
ossia \(z(t)=\ln y(t)\), suggerito dalla presenza di \(y^\prime/y\).

[Plepp]

"gugo82":[quote="Plepp"]Mi sembra però che assumere di poter esprimere $y'$ in funzione di $y$ non sia sempre un'ipotesi così "educata". Per esempio, mi pare che qui:
\[\begin{cases}
y''=(y')^2/y-2y\\
y(0)=1\\
y'(0)=0
\end{cases}
\]
il metodo fallisca. L'unica soluzione del problema è $y(x)=e^{-x^2}$, e intorno all'origine $y'$ prende valori diversi alla quota $y$, dunque non si può esprimere $y'$ in funzione di $y$.

E perché mai?
Mi pare che il concetto di funzione ti dica proprio che la variabile "dipendente" (\(y^\prime\) in questo caso) vari quando varia la variabile "indipendente" (\(y\) in questo caso)... Quindi non capisco cosa c'entri il fatto che anche \(y^\prime\) possa variare.
[/quote]
Ma io sto dicendo che $y'$ "varia" anche quando non varia $y$

Scusa, detto rozzamente: se fosse $y'=g(y)$, per $y=1/2$ (cioè per $x=\pm \sqrt{\log 2}$) non saprei quanto vale $g(y)$, che può essere $- 2\sqrt{\log 2}y$ ($x=\sqrt{\log 2}$) o $2\sqrt{\log 2}y$ ($x=-\sqrt{\log 2}$) Dico cavolate? (non lo escludo, sto esausto ).