Equazioni autonome
Salve, ho dei problemi con la teoria delle equazioni autonome.
Si definisce autonoma una equazione differenziale del tipo \(\displaystyle y'(t)=f(y(t)) \)
Il primo problema è che "ad ogni zero di f(y(t)) corrisponde una soluzione costante". Supponiamo che \(\displaystyle y(t_0) = y_0 \) e che \(\displaystyle f(y_0)=0 \). Allora \(\displaystyle y'(t_0)=f(y(t_0))=f(y_0)=0 \). Ma questo significa che la derivata calcolata nel punto \(\displaystyle t_0 \) è 0, ma non vuol dire che la funzione sia costante.
Altro problema è che le soluzioni non possono essere periodiche, ma magari lo vediamo meglio dopo.
Si definisce autonoma una equazione differenziale del tipo \(\displaystyle y'(t)=f(y(t)) \)
Il primo problema è che "ad ogni zero di f(y(t)) corrisponde una soluzione costante". Supponiamo che \(\displaystyle y(t_0) = y_0 \) e che \(\displaystyle f(y_0)=0 \). Allora \(\displaystyle y'(t_0)=f(y(t_0))=f(y_0)=0 \). Ma questo significa che la derivata calcolata nel punto \(\displaystyle t_0 \) è 0, ma non vuol dire che la funzione sia costante.
Altro problema è che le soluzioni non possono essere periodiche, ma magari lo vediamo meglio dopo.
Risposte
ok ho capito che la soluzione costante si ha per \( y(t)=y_0 \forall t \). Resta il fatto che le soluzioni non posso essere periodiche. Perchè \( y(t) \) non può essere periodica?
Credo che ciò abbia a che fare con la lipschitizianità di $f(y)$, cioè $f(y)$ deve essere lip... in $y_0$.
Ovvero l'unicità della soluzione al problema di Cauchy è assicurato dalla lip...
Ad es un buon candidato alla tua obiezione potrebbe essere la $y=x^3$, che si ricava dall'equazione $y'=3y^{2/3}, y(0)=0$.
Dunque la $f(y)=3y^{2/3}$.
Tale funzione non è però lip... in 0, infatti si ha $lim_{x \to 0} f'(y) = +oo$.
Quindi la soluzione non è univoca ed è corretto assumere che la soluzione è sia $y=x^3$ che $y=0$
Ovvero l'unicità della soluzione al problema di Cauchy è assicurato dalla lip...
Ad es un buon candidato alla tua obiezione potrebbe essere la $y=x^3$, che si ricava dall'equazione $y'=3y^{2/3}, y(0)=0$.
Dunque la $f(y)=3y^{2/3}$.
Tale funzione non è però lip... in 0, infatti si ha $lim_{x \to 0} f'(y) = +oo$.
Quindi la soluzione non è univoca ed è corretto assumere che la soluzione è sia $y=x^3$ che $y=0$
Non credo sia quello il punto, Quinzio. Infatti vi dirò, mi pare proprio strana questa cosa: da quando in qua un problema autonomo non ha soluzioni periodiche? Per esempio,
\[\begin{cases} \dot{x}(t)=-y(t) \\ \dot{y}(t)=x(t) \end{cases}\]
forse il più classico dei sistemi autonomi, ha per soluzioni tutte le circonferenze di centro \((x, y)=(0, 0)\) percorse a velocità unitaria. E quindi, soluzioni periodiche a go-go. Però questo è un sistema, e forse il testo di raffamaiden si riferisce specificamente a singole equazioni scalari, nel qual caso può essere che ci sia qualche inghippo... però mi pare un po' strano.
\[\begin{cases} \dot{x}(t)=-y(t) \\ \dot{y}(t)=x(t) \end{cases}\]
forse il più classico dei sistemi autonomi, ha per soluzioni tutte le circonferenze di centro \((x, y)=(0, 0)\) percorse a velocità unitaria. E quindi, soluzioni periodiche a go-go. Però questo è un sistema, e forse il testo di raffamaiden si riferisce specificamente a singole equazioni scalari, nel qual caso può essere che ci sia qualche inghippo... però mi pare un po' strano.
non so cos'è una funzione lipschitizia non avendole studiate, ma essendo che questo termine me lo ritrovo frequentemente quando vado a cercare equazioni differenziali su internet, credo che me lo andrò a studiare per i fatti miei (a partire da domani 
)
Si il testo si riferisce ad una singola equazione autonoma, e vi è scritto che una equazione autonoma non può avere soluzioni periodiche perché ciò andrebbe in contrasto con il fatto che la traslata di una soluzione è ancora soluzione. Quest'ultimo passaggio l'ho capito, non ho capito dove sta il contrasto. O se avete qualche altro modo per dimostrarlo .... (o se magari è falso)
)Si il testo si riferisce ad una singola equazione autonoma, e vi è scritto che una equazione autonoma non può avere soluzioni periodiche perché ciò andrebbe in contrasto con il fatto che la traslata di una soluzione è ancora soluzione. Quest'ultimo passaggio l'ho capito, non ho capito dove sta il contrasto. O se avete qualche altro modo per dimostrarlo .... (o se magari è falso
)
Prendi la tua soluzione $y(t)$ periodica. Prendi un suo punto $t_0$ di massimo o minimo (che ci sono per questo, questo e quest'altro motivo).
Avrai che $y'(t_0) = 0$. Ma allora anche la funzione costante $z(t) = y(t_0)$ è soluzione; per l'unicità, $y$ e $z$ coincidono.
Avrai che $y'(t_0) = 0$. Ma allora anche la funzione costante $z(t) = y(t_0)$ è soluzione; per l'unicità, $y$ e $z$ coincidono.
Si certo una funzione periodica va bene in una generica eq. differenziale.
Il problema è che qui parto da una eq. differenziale autonoma dove non compare nessuna x.
Es: Funzione periodica --> $1 - cos x$
Com'è l'equazione differenziale autonoma del tipo \(\displaystyle y'(t)=f(y(t)) \) di cui $1- cos x$ è soluzione ?
Non c'è, o se c'è scrivetela.
Poi allego due pagine del mio libro:
Il problema è che qui parto da una eq. differenziale autonoma dove non compare nessuna x.
Es: Funzione periodica --> $1 - cos x$
Com'è l'equazione differenziale autonoma del tipo \(\displaystyle y'(t)=f(y(t)) \) di cui $1- cos x$ è soluzione ?
Non c'è, o se c'è scrivetela.
Poi allego due pagine del mio libro:
Io credo si possa dire di più.
Prendiamo un'equazione differenziale $y'=f(t,y)$, dove $f: \Omega subset RR^2 to RR$, con $\Omega$ aperto. Supponiamo che $f$ non dipenda esplicitamente da $t$, cioè supponiamo che esista $g:I subset RR \to RR$ tale che si possa scrivere $f(t,y)=g(y)$. Se succede questo chiamo l'equazione autonoma.
Adesso, considerata l'equazione differenziale autonoma $y'=g(y)$ (1):
Teorema 1. Supponiamo che $g: (a,b) \to RR$ sia continua e localmente lipschitziana (in modo da avere esistenza e unicità locali). Allora, le soluzioni dell'equazione (1) sono monotone sul loro intervallo massimale di definizione.
Un corollario immediato è l'esistenza dei limiti (eventualmente infiniti) agli estremi dell'intervallo massimale, grazie alla monotonia. E questo a sua volta implica che le soluzioni non possono essere periodiche: se così fosse, dovrebbe essere necessariamente $I_{max}=RR$ (avendo indicato con $I_{max}$ l'intervallo massimale) ed è noto che una funzione periodica non ha limite per $t \to +infty$ (a meno che sia costante).
La dimostrazione del th. 1 non dovrebbe essere difficile: basta usare il fatto che non compare la $t$ nel secondo membro della (1), e quindi la monotonia di una soluzione $phi$ non dipende dal tempo ma solo dall'"altezza" del dato iniziale.
Teorema 2. Sia di nuovo $g$ come sopra, continua + localmente lipschitz. Siano $l_1$ e $l_2$ zeri di $g$, con $a0$ per ogni $s in (l_1,l_2)$ e sia $y_0 \in (l_1,l_2)$; se $\phi$ è soluzione del problema di Cauchy (1)+$y(t_0)=y_0$, allora necessariamente $I_max=RR$, $lim_{t \to -\infty} \phi = l_1$, $lim_{t \to -\infty} \phi = l_2$.
Spero sia tutto chiaro e spero di non aver sparato sciocchezze; nel caso in cui qualcosa non fosse sufficientemente limpido, sapete dove trovarmi
P.S. @ dissonance: nota l'ipotesi $\Omega subset RR^2$. Quanto ho detto, infatti, vale solo per problemi unidimensionali; d'altra parte, come vedi, ho parlato di monotonia, concetto che in più variabili è "difficile" da trattare.
Prendiamo un'equazione differenziale $y'=f(t,y)$, dove $f: \Omega subset RR^2 to RR$, con $\Omega$ aperto. Supponiamo che $f$ non dipenda esplicitamente da $t$, cioè supponiamo che esista $g:I subset RR \to RR$ tale che si possa scrivere $f(t,y)=g(y)$. Se succede questo chiamo l'equazione autonoma.
Adesso, considerata l'equazione differenziale autonoma $y'=g(y)$ (1):
Teorema 1. Supponiamo che $g: (a,b) \to RR$ sia continua e localmente lipschitziana (in modo da avere esistenza e unicità locali). Allora, le soluzioni dell'equazione (1) sono monotone sul loro intervallo massimale di definizione.
Un corollario immediato è l'esistenza dei limiti (eventualmente infiniti) agli estremi dell'intervallo massimale, grazie alla monotonia. E questo a sua volta implica che le soluzioni non possono essere periodiche: se così fosse, dovrebbe essere necessariamente $I_{max}=RR$ (avendo indicato con $I_{max}$ l'intervallo massimale) ed è noto che una funzione periodica non ha limite per $t \to +infty$ (a meno che sia costante).
La dimostrazione del th. 1 non dovrebbe essere difficile: basta usare il fatto che non compare la $t$ nel secondo membro della (1), e quindi la monotonia di una soluzione $phi$ non dipende dal tempo ma solo dall'"altezza" del dato iniziale.
Teorema 2. Sia di nuovo $g$ come sopra, continua + localmente lipschitz. Siano $l_1$ e $l_2$ zeri di $g$, con $a
Spero sia tutto chiaro e spero di non aver sparato sciocchezze; nel caso in cui qualcosa non fosse sufficientemente limpido, sapete dove trovarmi
P.S. @ dissonance: nota l'ipotesi $\Omega subset RR^2$. Quanto ho detto, infatti, vale solo per problemi unidimensionali; d'altra parte, come vedi, ho parlato di monotonia, concetto che in più variabili è "difficile" da trattare.
Ragazzi, vi ringrazio tutti, ma più leggo più capisco che non ho gli strumenti per capire. Non ho fatto il concetto di "lipschitziano" ne il teorema di unicità della soluzione (e infatti è una cosa che mi chiedevo quando il professore parlava di congetture sul fatto che una determinata funzione fosse soluzione, e poi verificava che era effettivamente così. Io mi sono sempre chiesto come facciamo a sapere che quella soluzione sia unica e che non ce ne siano altre). Facciamo così: per ora mi interessa passare avanti, anche perché devo pure recuperare una materia che ho lasciato (chimica!). Appena avrò un po' più di tempo, mi vado a prendere un buon libro di analisi (tipo il Pagani-salsa dove queste cose ci sono tutte) e se ho ancora dubbi riesumo il post.
Scusate se rimando ma pensavo fosse qualcosa che si spiegava senza ulteriori concetti, ma vedo che non è cosi e in questo periodo non posso proprio permettermi di approfondire ma preferisco fare le cose che mi sono richieste. Intanto chiedo al prof se mi spiega l'unicità della soluzione e il "lipschitziano" in parole povere.
Grazie a tutti delle risposte ovviamente. Me le vado a rileggere appena avrò i concetti che mi mancano, perché ora proprio non le capisco
Scusate se rimando ma pensavo fosse qualcosa che si spiegava senza ulteriori concetti, ma vedo che non è cosi e in questo periodo non posso proprio permettermi di approfondire ma preferisco fare le cose che mi sono richieste. Intanto chiedo al prof se mi spiega l'unicità della soluzione e il "lipschitziano" in parole povere.
Grazie a tutti delle risposte ovviamente. Me le vado a rileggere appena avrò i concetti che mi mancano, perché ora proprio non le capisco
"raffamaiden":
Intanto chiedo al prof se mi spiega l'unicità della soluzione e il "lipschitziano" in parole povere.
Non sono il prof ma, per quello che vale, ti dico in due parole la mia opinione: non ti lasciar spaventare
Guarda la faccio breve. Prendi una funzione $f: A \subset RR \to RR$. $f$ si dice lipschitziana di costante $L$ se $|f(x)-f(y)| <=L|x-y|$, per ogni $x,y \in A$.
E' un utile e semplice esercizio verificare che la lipschitzianità implica la continuità (per giunta uniforme). Se ne è discusso molte volte qui sul forum; ti faccio osservare che se $f$ è derivabile allora la lipschtzianità equivale alla limitatezza della derivata prima (e il sup del modulo di $f'$ può essere preso come $L$).
Ok fin qui?
Ora, come estendere questa cosa con più variabili? Prendi $f: \Omega subset RR times RR^{n} \to RR$, diciamo che le variabili sono $t \in RR$ e $u \in RR^n$. Diremo che $f$ è lipschitziana in $u$, uniformemente in $t$, se
[tex]\Vert f(t,u_1) -f(t,u_2) \Vert \le L\Vert u_1-u_2 \Vert[/tex], per ogni $(t,u_1), (t,u_2) \in \Omega$.
Infine, diremo che $f$ è localmente lipschitziana in $u$, uniformemente in $t$, se è lipschitziana su ogni compatto $K$ contenuto dentro $Omega$ (in particolare, la costante $L=L_K$ dipende eventualmente dal compatto).
Va bene, ho finito. Prendi l'equazione differenziale $y'=f(t,y)$, dove $f$ è come sopra $f: \Omega subset RR times RR^{n} \to RR$, $Omega$ aperto e prendi $(t_0, y_0) \in Omega$ come dato iniziale.
[*:qjivyvwp]Se $f \in C(\Omega)$, allora esiste almeno una soluzione locale (teorema di Peano); [/*:m:qjivyvwp]
[*:qjivyvwp]se di più $f$ è localmente lipschitziana in $u$ uniformemente in $t$, allora la soluzione esiste ed è unica localmente (teorema di esistenza e unicità di Cauchy).[/*:m:qjivyvwp][/list:u:qjivyvwp]
Ok, bisogna meditarci un po' su ma, a giudicare dai tuoi interventi, non credo che avrai molti problemi a capire. In ogni caso, se hai dubbi posta pure.
Sul "lipschitziano", per raffamaiden, la faccio ancora più breve. Supponi che \(f\) sia una funzione di classe \(C^1\). Allora stai tranquillo che comunque tu scelga una condizione iniziale \((t_0, y_0)\) esiste una e una sola soluzione del problema
\[\begin{cases} \dot{y}=f(y) \\ y(t_0)=y_0 \end{cases}.\]
In termini concreti, se \(f\) è una funzione regolare allora assegnando lo stato del sistema ad un certo istante \(t_0\) l'equazione sputa fuori lo stato del sistema ad ogni tempo. Quindi il problema è ben posto.
Se invece \(f\) ha delle singolarità possono succedere cose strane, tipo soluzioni che non esistono o più soluzioni per uno stesso problema di Cauchy.. Ma non c'è da preoccuparsi di questo, per adesso.
@Paolo: Mi è piaciuto il discorso "monotonia"! Questo spiega perché la proposizione fallisce quando si considerano sistemi autonomi.
\[\begin{cases} \dot{y}=f(y) \\ y(t_0)=y_0 \end{cases}.\]
In termini concreti, se \(f\) è una funzione regolare allora assegnando lo stato del sistema ad un certo istante \(t_0\) l'equazione sputa fuori lo stato del sistema ad ogni tempo. Quindi il problema è ben posto.
Se invece \(f\) ha delle singolarità possono succedere cose strane, tipo soluzioni che non esistono o più soluzioni per uno stesso problema di Cauchy.. Ma non c'è da preoccuparsi di questo, per adesso.
@Paolo: Mi è piaciuto il discorso "monotonia"! Questo spiega perché la proposizione fallisce quando si considerano sistemi autonomi.
@ dissonance:
Già, verissimo! Effettivamente avrei dovuto dire che una buona regolarità (diciamo $C^1$) è sufficiente per la locale lipschitzianità (in soldoni, grazie al teorema di Weierstrass).
Grazie per la precisazione.
Sono contento che ti sia piaciuto
"dissonance":
Sul "lipschitziano", per raffamaiden, la faccio ancora più breve. Supponi che \(f\) sia una funzione di classe \(C^1\).[...]
Già, verissimo! Effettivamente avrei dovuto dire che una buona regolarità (diciamo $C^1$) è sufficiente per la locale lipschitzianità (in soldoni, grazie al teorema di Weierstrass).
Grazie per la precisazione.
"dissonance":
@Paolo: Mi è piaciuto il discorso "monotonia"! Questo spiega perché la proposizione fallisce quando si considerano sistemi autonomi.
Sono contento che ti sia piaciuto
Vorrei ringraziarvi tutti, ho capito Scusate il ritardo ma le avevo lasciate perdere per fare altro
Scusate il ritardo ma le avevo lasciate perdere per fare altro
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