Equazioni alle differenze lineari, soluzioni, risposte
Continuo a chiedervi aiuto, mi dispiace per il disturbo ma sono inchiodato su questo stupido esame e sono abbastanza disperato.
In questo caso il primo problema è trovare la soluzione dell'equazione omogenea associata al sistema retto dalla seguente equazione alle differenze:
$y_{k+2} + y_{k+1} + 1/4*y_k = u_{k+1} - u_k$
con le seguenti condizioni iniziali: $y_-1=0$ , $y_0=1$
Passando alla equazione omogenea associata ottengo $\lambda^2+\lambda+1/4=0$, che ha un'unica soluzione ($-1/2$) con molteplicità 2.
La soluzione generica quindi è $c_1*(-1/2)^k+c2(-1/2)^k*k$, da cui, utilizzando le condizioni iniziali, si ottiene che $c_1=1$ e $c_2=1$.
Quello che vi chiedo, prima di passare alla seconda parte, è se i risultati sono corretti (in un esercizio proposto dal professore, ovviamente senza passaggi intermedi da poter valutare, che aveva la stessa equazione alle differenze i suoi risultati sono $c_1=1$ e $c_2=-1$, da cui i miei dubbi...).
In questo caso il primo problema è trovare la soluzione dell'equazione omogenea associata al sistema retto dalla seguente equazione alle differenze:
$y_{k+2} + y_{k+1} + 1/4*y_k = u_{k+1} - u_k$
con le seguenti condizioni iniziali: $y_-1=0$ , $y_0=1$
Passando alla equazione omogenea associata ottengo $\lambda^2+\lambda+1/4=0$, che ha un'unica soluzione ($-1/2$) con molteplicità 2.
La soluzione generica quindi è $c_1*(-1/2)^k+c2(-1/2)^k*k$, da cui, utilizzando le condizioni iniziali, si ottiene che $c_1=1$ e $c_2=1$.
Quello che vi chiedo, prima di passare alla seconda parte, è se i risultati sono corretti (in un esercizio proposto dal professore, ovviamente senza passaggi intermedi da poter valutare, che aveva la stessa equazione alle differenze i suoi risultati sono $c_1=1$ e $c_2=-1$, da cui i miei dubbi...).
Risposte
Ok, supponendo che questi calcoli siano corretti (o quasi), ho un'altra domanda. Per calcolare la soluzione generale dovrei sommare la soluzione della omogenea associata calcolata in precedenza con una soluzione particolare. Ora, per calcolare la soluzione particolare il metodo che abbiamo visto è quello della "soluzione di tentativo", per cui a seconda del termine forzante si ipotizza una struttura particolare per la soluzione di tentativo.
Se, presa come equazione quella del post qui sopra, come ingresso ho il segnale $u(k) = 1/2^k$, qual è la soluzione di tentativo da adottare? Avevo pensato dando un'occhiata alla tabella delle soluzioni di tentativo di usare $A*1/2^k$ ma credo che il problema sia legato al fatto che bisogna prima sostituire $u(k)$ ad $u_(k+1)-u_k$, giusto?
Di conseguenza, l'ingresso diventerebbe $1/2^(k+1)-1/2^k$? E se si, quale sarebbe la soluzione di tentativo da scegliere?
Se, presa come equazione quella del post qui sopra, come ingresso ho il segnale $u(k) = 1/2^k$, qual è la soluzione di tentativo da adottare? Avevo pensato dando un'occhiata alla tabella delle soluzioni di tentativo di usare $A*1/2^k$ ma credo che il problema sia legato al fatto che bisogna prima sostituire $u(k)$ ad $u_(k+1)-u_k$, giusto?
Di conseguenza, l'ingresso diventerebbe $1/2^(k+1)-1/2^k$? E se si, quale sarebbe la soluzione di tentativo da scegliere?
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