Equazioni alle derivate parziali con trasformata fourier
Ciao a tutti.. tra qualche giorno dovro sostenere l^ esame di analisi 2 e tra i vari esercizi dovò risolvere un PDE mediante la trasformata di fourier.Il mio prof ci ha fatto vedere tuttavia soltanto un esempio di PDE(l^ equazione del calore di fourier),e non ci ho capito un gran che..cosi^ ho guardato qualche libro in bibblioteca , ma sono per le mie conoscenze troppo complessi.Mi sapreste indicare qualche dispensa che spieghi in maniera elementere le PDE risolvibili mediante la trasformata di fourier?
Risposte
Dispense non ne ho trovate, però ecco un esercizio (con soluzione) relativo a una EDP risolta tramite trasformata di Fourier.
Determinare una soluzione $u=u(x,t)$ dell’equazione:
$(del u)/(del t) = (del u)/(del x) +e^(-|x|) signx $; $ x inRR, t>0 $
con la condizione iniziale $ u(x,0 )=0 $.
Pongo $hatu(xi,t)= int_(-oo)^(+oo) e^(i xi x)u(x,t)dx $ e ottengo l’equazione trasformata :
$(del hatu)/(delt) = -i xi hatu +(2ixi)/(xi^2+1) $.
La soluzione generale dell’equazione differenziale ordinaria (EDO) ottenuta tramite trasformata di Fourier sarà somma :
*dell’integrale generale dell’equazione omogenea e vale : $c(xi)e^(-i xi t)$
*e di un integrale particolare ( indipendente da $t$) dell’equazione completa e vale :$2/(1+xi^2)$.
La soluzione generale è quindi : $c(xi)e^(-i xi t)+2/(1+xi^2)$.
Imponendo la condizione iniziale si ottiene :
$hatu(xi,0)=0=c(xi)+2/(1+xi^2)$ da cui $c(xi)=-2/(1+xi^2) $ ed infine :
$hatu(xi,t)=(2/(1+xi^2))*[1-e^(-i xi t)] $.
Antitrasformando finalmente si ottiene la soluzione $u(x,t)= e^(-|x|) -e^(-|x+t|) $.
Determinare una soluzione $u=u(x,t)$ dell’equazione:
$(del u)/(del t) = (del u)/(del x) +e^(-|x|) signx $; $ x inRR, t>0 $
con la condizione iniziale $ u(x,0 )=0 $.
Pongo $hatu(xi,t)= int_(-oo)^(+oo) e^(i xi x)u(x,t)dx $ e ottengo l’equazione trasformata :
$(del hatu)/(delt) = -i xi hatu +(2ixi)/(xi^2+1) $.
La soluzione generale dell’equazione differenziale ordinaria (EDO) ottenuta tramite trasformata di Fourier sarà somma :
*dell’integrale generale dell’equazione omogenea e vale : $c(xi)e^(-i xi t)$
*e di un integrale particolare ( indipendente da $t$) dell’equazione completa e vale :$2/(1+xi^2)$.
La soluzione generale è quindi : $c(xi)e^(-i xi t)+2/(1+xi^2)$.
Imponendo la condizione iniziale si ottiene :
$hatu(xi,0)=0=c(xi)+2/(1+xi^2)$ da cui $c(xi)=-2/(1+xi^2) $ ed infine :
$hatu(xi,t)=(2/(1+xi^2))*[1-e^(-i xi t)] $.
Antitrasformando finalmente si ottiene la soluzione $u(x,t)= e^(-|x|) -e^(-|x+t|) $.
grazie mille questo é proprio il genere di esercizio che cercavo.Ma alla fine come fai ad antitrasformare cosi^ velocemente?
penso che ci sia un errore.. la trasformata di fourier di una derivata é: i§u^ ... tu hai messo il meno che a me non risulta che ci sia.. ho ragione?
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