Equazioni alle derivate parziali
Salve a tutti, scrivo qui perché ho un grosso problema che non riesco a risolvere. Nel programma del mio esame di Complementi di Analisi I c'è una parte relativa alle "equazioni alle derivate parziali", purtroppo oltre gli appunti non riesco a reperire altro materiale a riguardo e quindi l'argomento mi è poco chiaro.
All'ultimo appello ho per esempio trovato questo esercizio:
Determinare la soluzione del seguente problema di Dirichlet per la corda vibrante infinita:
$u_{t,t}-9u_{x,x}=0$ se x$inRR$, t>0
$u(x,0)=p(x)$ se x$inRR$
$u_t(x,0)=0$ se x$inRR$
dove la funzione p(x) è così definita:
p(x)=x se x$in$[0,1]
p(x)=0 se x$notin$[0,1]
Calcolare inoltre u(2,$1/2$), e indicare le regioni del piano Oxt nelle quali u(x,t) è costante.
Io ho pensato a questa risoluzione, utilizzando la formula di D'Alembert $u(x,t)=(p[x-3t]+p[x+3t])/2$ calcolo in $(2,1/2)$ dovrei ottenere 4...?
Sinceramente non ho proprio idea, spero che qualcuno possa aiutarmi.
Grazie.
All'ultimo appello ho per esempio trovato questo esercizio:
Determinare la soluzione del seguente problema di Dirichlet per la corda vibrante infinita:
$u_{t,t}-9u_{x,x}=0$ se x$inRR$, t>0
$u(x,0)=p(x)$ se x$inRR$
$u_t(x,0)=0$ se x$inRR$
dove la funzione p(x) è così definita:
p(x)=x se x$in$[0,1]
p(x)=0 se x$notin$[0,1]
Calcolare inoltre u(2,$1/2$), e indicare le regioni del piano Oxt nelle quali u(x,t) è costante.
Io ho pensato a questa risoluzione, utilizzando la formula di D'Alembert $u(x,t)=(p[x-3t]+p[x+3t])/2$ calcolo in $(2,1/2)$ dovrei ottenere 4...?
Sinceramente non ho proprio idea, spero che qualcuno possa aiutarmi.
Grazie.
Risposte
Effettivamente la formula di d'Alembert ti fornisce la soluzione generalizzata:
\[
u(x,t) = \frac{1}{2}\Big( p(x-3t) +p(x+3t)\Big)\; ;
\]
tenendo presente com'è definita \(p\), trovi:
\[
p(x+ 3t) =\begin{cases} x+ 3t &\text{, se } - 3t \leq x \leq 1- 3t \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
e:
\[
p(x-3t) =\begin{cases} x- 3t &\text{, se } 3t \leq x \leq 1+ 3t \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
Facendo un disegno delle zone individuate dalle limitazioni \(- 3t \leq x \leq 1- 3t\) e \(3t \leq x \leq 1+3t\) nel semipiano \(t>0\), si vede che:
\[
u(x,t) = \frac{1}{2}\Big( p(x-3t) +p(x+3t)\Big)\; ;
\]
tenendo presente com'è definita \(p\), trovi:
\[
p(x+ 3t) =\begin{cases} x+ 3t &\text{, se } - 3t \leq x \leq 1- 3t \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
e:
\[
p(x-3t) =\begin{cases} x- 3t &\text{, se } 3t \leq x \leq 1+ 3t \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
Facendo un disegno delle zone individuate dalle limitazioni \(- 3t \leq x \leq 1- 3t\) e \(3t \leq x \leq 1+3t\) nel semipiano \(t>0\), si vede che:
[*:dsp6gd56] l'influenza della parte non nulla dell'onda retrograda \(p(x+3t)\) si sente nella striscia \(S_r\) colorato in rosso;
[/*:m:dsp6gd56]
[*:dsp6gd56] l'influenza della parte non nulla dell'onda progressiva \(p(x-3t)\) si sente nella striscia \(S_p\) colorato in giallo;
[/*:m:dsp6gd56]
[*:dsp6gd56] si sentono le influenze di entrambe le onde progressiva e retrograda nel triangolo \(T\) colorato in arancione;
[/*:m:dsp6gd56]
[*:dsp6gd56] nella restante porzione di semipiano, non si sente alcuna influenza dovuta al dato iniziale (o meglio, si sente l'influenza della parte nulla del dato iniziale... Che è nulla, appunto!).[/*:m:dsp6gd56][/list:u:dsp6gd56]
[asvg]xmin=-1; xmax=2; ymin=-1; ymax= 2;
axes("","");
stroke="red"; fill="red"; path([[0,0],[0.5,0.1665],[-4,1.666],[-4,1.333],[0,0]]);
stroke="yellow"; fill="yellow"; path([[1,0],[0.5,0.1665],[4,1.333],[4,1],[1,0]]);
stroke="orange"; fill="orange"; path([[0,0],[1,0],[0.5,0.1665],[0,0]]);[/asvg]
cosicché capisci che la tua soluzione generalizzata si scrive esplicitamente come:
\[
u(x,t) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x+3t) &\text{, se } (x,t)\in S_r \\ \frac{1}{2}(x-3t) &\text{, se } (x,t)\in S_p \\ x &\text{, se } (x,t)\in T \\ 0&\text{, altrimenti} \end{cases}
\]
Per calcolare \(u(2,1/2)\) basta posizionare il punto \((2,1/2)\) nel grafico precedente:
[asvg]xmin=-1; xmax=2; ymin=-1; ymax= 2;
axes("","");
stroke="red"; fill="red"; path([[0,0],[0.5,0.1665],[-4,1.666],[-4,1.333],[0,0]]);
stroke="yellow"; fill="yellow"; path([[1,0],[0.5,0.1665],[4,1.333],[4,1],[1,0]]);
stroke="orange"; fill="orange"; path([[0,0],[1,0],[0.5,0.1665],[0,0]]);
stroke="black"; dot([2,0.5]);[/asvg]
in modo da constatare che \((2,1/2)\in S_p\); pertanto:
\[
u(2,1/2)=\frac{1}{2}\left( 2-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{4}\; .
\]
Seguendo lo svolgimento di questo esercizio ho provato a farne un altro:
Determinare la soluzione del seguente problema di Dirichlet per la corda vibrante infinita:
$u_(t,t)-4u_(x,x)=0, se x inRR, t>0$
$u(x,0)=p(x), se x inRR$
$u_t(x,0)=0, se x inRR$
dove la funzione p(x) è così definita:
$p(x)={(1,if x<0),(0,if x>=0):}$
Calcolare inoltre u(1,3), u(-3,1), e infine tracciare un grafico approssimativo di u(x,t).
Svolgimento:
$u(x,t)=1/2[p(x-2t)+p(x+2t)]$
$p(x-2t)={(1,if x<2t),(0,if x>=2t):}$
$p(x+2t)={(1,if x<-2t),(0,if x>=-2t):}$
Per disegnare il grafico (mi scuso se non allego l'immagine ma non so come fare) traccio una retta con pendenza 2t ed una con pendenza -2t, entrambe passanti dall'origine degli assi, perciò avrò 4 zone da evidenziare.
Quindi $u(1,3)=1/2*(1+0)=1/2$ ed $u(-3,1)=1/2*(1+1)=1$.
Spero sia corretto.
Vorrei sapere se c'è un buon testo con esercizi su questi argomenti, visto che ho ancora da affrontare l'equazione di Laplace e quella del calore.
Grazie ancora!
Determinare la soluzione del seguente problema di Dirichlet per la corda vibrante infinita:
$u_(t,t)-4u_(x,x)=0, se x inRR, t>0$
$u(x,0)=p(x), se x inRR$
$u_t(x,0)=0, se x inRR$
dove la funzione p(x) è così definita:
$p(x)={(1,if x<0),(0,if x>=0):}$
Calcolare inoltre u(1,3), u(-3,1), e infine tracciare un grafico approssimativo di u(x,t).
Svolgimento:
$u(x,t)=1/2[p(x-2t)+p(x+2t)]$
$p(x-2t)={(1,if x<2t),(0,if x>=2t):}$
$p(x+2t)={(1,if x<-2t),(0,if x>=-2t):}$
Per disegnare il grafico (mi scuso se non allego l'immagine ma non so come fare) traccio una retta con pendenza 2t ed una con pendenza -2t, entrambe passanti dall'origine degli assi, perciò avrò 4 zone da evidenziare.
Quindi $u(1,3)=1/2*(1+0)=1/2$ ed $u(-3,1)=1/2*(1+1)=1$.
Spero sia corretto.
Vorrei sapere se c'è un buon testo con esercizi su questi argomenti, visto che ho ancora da affrontare l'equazione di Laplace e quella del calore.
Grazie ancora!
Il diagramma che esce fuori disegnando le regioni delimitate da \(x<2t\) ed \(x<-2t\) nel semipiano \(t\geq 0\) mostra che:
[*:2adupipg] nell'angolo \(A\), colorato in giallo, formato dalle semirette d'equazione \(x=2t\) ed \(x=-2t\) si sente solo l'influenza della parte non nulla dell'onda progressiva \(p(x-2t)\);
[/*:m:2adupipg]
[*:2adupipg] nell'angolo \(B\), colorato in arancione, formato dalla semiretta d'equazione \(x=-2t\) con il semiasse delle \(x\) negative si sente l'influenza di entrambe le onde progressiva \(p(x-2t)\) e retrograda \(p(x+2t)\);
[/*:m:2adupipg]
[*:2adupipg] nel rimanente angolo (formato dalla semiretta d'equazione \(x=2t\) col semiasse delle \(x\) positive) non si sente alcuna influenza del dato iniziale (ossia si sente solo l'influenza della parte nulla del dato).[/*:m:2adupipg][/list:u:2adupipg]
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-1; ymax=3;
axes("","");
stroke="yellow"; fill="yellow"; path([[0,0],[7,3.5],[-7,3.5],[0,0]]);
stroke="orange"; fill="orange"; path([[0,0],[-3,1.5],[-3,0],[0,0]]);[/asvg]
Quindi:
\[
u(x,t)=\begin{cases} \tfrac{1}{2} &\text{, se } (x,t)\in A \\ 1 &\text{, se } (x,t)\in B \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
Per quanto riguarda i punti \((1,3)\) e \((-3,1)\), mettendoli sul grafico:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
stroke="yellow"; fill="yellow"; path([[0,0],[9,4.5],[-9,4.5],[0,0]]);
stroke="orange"; fill="orange"; path([[0,0],[-4,2],[-4,0],[0,0]]);
stroke="black"; dot([1,3]); dot([-3,1]);[/asvg]
\((1,3)\in A\) e \((-3,1)\in B\), quindi i tuoi risultati sono corretti.
Il grafico lo trovi qui (però ho dovuto chiamare \(y\) la \(t\)).
@Gugo: caspita, che risposte! Belle, proprio belle.
Comunque un libro di esercizi su queste cose è quello di Sandro Salsa. Gugo sicuramente si ricorda come si chiama, io invece no e allora me ne vado a dormire.
Comunque un libro di esercizi su queste cose è quello di Sandro Salsa. Gugo sicuramente si ricorda come si chiama, io invece no e allora me ne vado a dormire.
"dissonance":
@Gugo: caspita, che risposte! Belle, proprio belle.
Ma sono solo due conti... Mica sono belle.
"dissonance":
Comunque un libro di esercizi su queste cose è quello di Sandro Salsa. Gugo sicuramente si ricorda come si chiama, io invece no e allora me ne vado a dormire.
Ah, forseo ho capito... Forse ti riferisci a Salsa & Verzini, Equazioni a derivate parziali - Complementi ed Esercizi, Springer?
Quello che fa il paio col libro di teoria di Salsa, Equazioni a derivate parziali - Metodi, modelli e applicazioni.
A me veniva in mente solo lo squallidissimo Spiegel, Advanced Calculus, Shaum's... Pieno di esercizi, ma non mi è mai piaciuto.
Ma sono solo due conti...mica sono belle.
No, no, sono belle risposte. Per uno che sta preparando un esame avere un riscontro del genere è una grossa fortuna. Sono soprattutto i disegni che fai il valore aggiunto dei tuoi post. Io lo vedo con i miei colleghi studenti: ti sembrerà strano, ma la capacità di fare disegni come quelli è piuttosto rara! Capita che uno sappia enunciare a memoria tutti i teoremi e le dimostrazioni di un argomento complicato ma poi davanti ad un problema come questo tac, si blocca.
(Anche a me capita, eh. Anzi, mi capita spesso. E' del tutto normale, se uno studia solo teoria e non si esercita.)
Forse ti riferisci a Salsa & Verzini...
Si, si, proprio lui: Salsa & Verzini. Lo sapevo che l'avresti ricordato subito. Io l'ho usato un po' quest'estate, durante il corso SMI: uno degli esami prevedeva esercizi sulle conservation laws e mi sono allenato un po' con quel testo. Per quel poco che ho visto è fatto bene, e seguendo le sue direttive sono riuscito a svolgere correttamente gli esercizi del compito, quindi mi sento di consigliarlo.
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