Equazione trigonometrica con dubbio
Sera 
Mi sono trovato a risolvere una equazione trigonometrica (in un esercizio più complicato) che mi crea alcuni dubbi e non capisco il metodo usato dall esercitatore.
a e b, sono parametri fissati a priori, l'incognita è in x ed f.
Ci troviamo di fronte a: $(a^2+b^2-2adcostheta)f^2=a^2+x^2-2axcostheta$
In realtà per una richiesta precisa deve valere per ogni theta e quindi scrive il sistema
$(a^2+d^2)f^2=a^2+x^2$
$-2adf^2=-2ax$
Non capisco perché la richiesta che debba valere per ogni $theta$ mi porti a uguagliare termine a termine, sembra il principio di identità dei polinomi, ma coseno non è un polinomio. Vorrei capire come formalizzare il passaggio
Mi sono bloccato su una cosa stupida, ma devo assolutamente colmare questa lacuna, spero in aiuti vostri e grazie mille
Mi sono trovato a risolvere una equazione trigonometrica (in un esercizio più complicato) che mi crea alcuni dubbi e non capisco il metodo usato dall esercitatore.
a e b, sono parametri fissati a priori, l'incognita è in x ed f.
Ci troviamo di fronte a: $(a^2+b^2-2adcostheta)f^2=a^2+x^2-2axcostheta$
In realtà per una richiesta precisa deve valere per ogni theta e quindi scrive il sistema
$(a^2+d^2)f^2=a^2+x^2$
$-2adf^2=-2ax$
Non capisco perché la richiesta che debba valere per ogni $theta$ mi porti a uguagliare termine a termine, sembra il principio di identità dei polinomi, ma coseno non è un polinomio. Vorrei capire come formalizzare il passaggio
Mi sono bloccato su una cosa stupida, ma devo assolutamente colmare questa lacuna, spero in aiuti vostri e grazie mille
Risposte
Le funzioni $theta |-> 1$ e $theta |-> cos theta$ sono linearmente indipendenti, quindi due loro combinazioni lineari sono identiche se e solo se esse hanno gli stessi coefficienti.
Grazie per la risposta gugo
Solo alcuni chiarimenti:
- quindi le funzioni indicate da te come $theta$ e $costheta$ sono vettori? Cioè lo reinterpreto come spazio vettoriale (dove le due funzioni sono i miei vettori) e mostro la lineare indipendenza? E da qui il discorso che hai fatto?
- non ho capito la necessità di introdurre $theta->1$ non posso solo dire 1 e $costheta$?
Solo alcuni chiarimenti:
- quindi le funzioni indicate da te come $theta$ e $costheta$ sono vettori? Cioè lo reinterpreto come spazio vettoriale (dove le due funzioni sono i miei vettori) e mostro la lineare indipendenza? E da qui il discorso che hai fatto?
- non ho capito la necessità di introdurre $theta->1$ non posso solo dire 1 e $costheta$?
"mat.pasc":
Ci troviamo di fronte a: $(a^2+b^2-2adcostheta)f^2=a^2+x^2-2axcostheta$
In realtà per una richiesta precisa deve valere per ogni theta e quindi scrive il sistema
$(a^2+d^2)f^2=R^2+x^2$
$-2adf^2=-2ax$
Quello che dice Gugo é vero ma qua ce ne possiamo uscire con un ragionamento molto piú terra-terra. Se la prima equazione vale per ogni \(\theta\), in particolare vale anche per \(\theta=\frac\pi 2\), che annulla il coseno e da la prima equazione del sistema. Inserendo questa equazione nell'equazione originaria, si ottiene la seconda.
"mat.pasc":
- quindi le funzioni indicate da te come $theta$ e $costheta$ sono vettori? Cioè lo reinterpreto come spazio vettoriale (dove le due funzioni sono i miei vettori) e mostro la lineare indipendenza? E da qui il discorso che hai fatto?
Anzitutto le funzioni sono $theta |-> 1$, che è la funzione costante che ad ogni $theta$ associa il valore $1$, e la funzione $theta |-> cos theta$, che ad ogni numero $theta$ associa il suo coseno.
Poi, sì: ad un certo punto della tua carriera universitaria (ammesso che tu non l'abbia già visto) imparerai che su un insieme di funzioni a valori in $RR$ si può mettere una struttura di $RR$-spazio vettoriale; quindi puoi considerare le funzioni come vettori e parlare di combinazioni lineari, dipendenza, indipendenza, basi, etc...
"mat.pasc":
- non ho capito la necessità di introdurre $theta->1$ non posso solo dire 1 e $costheta$?
Se $1$ che ho scritto fosse un numero, non apparterrebbe allo spazio vettoriale che sto considerando, ma al campo di scalari su cui tale spazio è modellato...
"dissonance":
Quello che dice Gugo é vero ma qua ce ne possiamo uscire con un ragionamento molto piú terra-terra. Se la prima equazione vale per ogni \(\theta\), in particolare vale anche per \(\theta=\frac\pi 2\), che annulla il coseno e da la prima equazione del sistema. Inserendo questa equazione nell'equazione originaria, si ottiene la seconda.
Grazie, hai perfettamente ragione. Ottima osservazione non ci ero arrivato
.______
Grazie mille gugo per le precisazioni, ora è tutto chiaro!
"gugo82":
Poi, sì: ad un certo punto della tua carriera universitaria (ammesso che tu non l'abbia già visto) imparerai che su un insieme di funzioni a valori in $RR$ si può mettere una struttura di $RR$-spazio vettoriale; quindi puoi considerare le funzioni come vettori e parlare di combinazioni lineari, dipendenza, indipendenza, basi, etc...
Studiando algebra lineare (che ho questo semestre) ho affrontato i concetti,li ho visti applicati a n-uple, polinomi, però funzioni non mi era stato mostrato. Però posso intuirlo e approfondirlo in autonomia ora perché vedo sul libro non accennarne.
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