Equazione Trascendente
Potreste aiutarmi a risolvere la seguente equazione?
3^x = ln(x)+x^3
Ho provato col metodo grafico, e mi sono sorti diversi dubbi.
1-) Mentre disegnavo i due grafici avevo due configurazioni diverse. La prima era che la curva eponenziale si manteneva sempre sopra la curva della funzione ln(x)+x^3, quindi non dovrei avere soluzioni in questo caso. La seconda configurazione vedeva le curve che si incontravano in due punti, poi la curva esponenziale "impennava" di più. Guardando il grafico mediante un tool ho visto che la seconda configurazione era quella esatta, come faccio a capire perchè sia corretta la seconda?
2-) Sapendo che ci sono queste due soluzioni, nel caso di questa equazione, è possibile ricavare i possibili intervalli a cui potrebbero appartenere?
Grazie
3^x = ln(x)+x^3
Ho provato col metodo grafico, e mi sono sorti diversi dubbi.
1-) Mentre disegnavo i due grafici avevo due configurazioni diverse. La prima era che la curva eponenziale si manteneva sempre sopra la curva della funzione ln(x)+x^3, quindi non dovrei avere soluzioni in questo caso. La seconda configurazione vedeva le curve che si incontravano in due punti, poi la curva esponenziale "impennava" di più. Guardando il grafico mediante un tool ho visto che la seconda configurazione era quella esatta, come faccio a capire perchè sia corretta la seconda?
2-) Sapendo che ci sono queste due soluzioni, nel caso di questa equazione, è possibile ricavare i possibili intervalli a cui potrebbero appartenere?
Grazie
Risposte
La funzione "deficit" (cioè la differenza tra i due membri dell'equazione) è:
\[
\Delta (x) = 3^x - \ln x -x^3
\]
ed è definita, continua e derivabile quante volte si vuole in \(]0,+\infty[\).
Dato che:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} \Delta (x) &= +\infty > 0\\
\Delta (3) &= 3^3 - \ln(3) -3^3 \\
&= -\ln(3) <0\\
\lim_{x\to +\infty} \Delta (x) &= +\infty >0
\end{split}
\]
il Teorema degli Zeri ti assicura che l'equazione \(\Delta (x)=0\) (equivalente all'equazione assegnata) ha almeno due soluzioni reali, una in $]0,3[$ e l'altra in $]3,+\infty[$.
Tendo a credere che tali soluzioni siano pure uniche, però la derivata prima di \(\Delta\) non fornisce immediatamente informazioni in merito.
P.S.: Il punto $3$ in cui calcolare la funzione $\Delta$ è scelto in modo furbo, cioè in modo da far annullare i contributi dell'esponenziale e della potenza.
\[
\Delta (x) = 3^x - \ln x -x^3
\]
ed è definita, continua e derivabile quante volte si vuole in \(]0,+\infty[\).
Dato che:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} \Delta (x) &= +\infty > 0\\
\Delta (3) &= 3^3 - \ln(3) -3^3 \\
&= -\ln(3) <0\\
\lim_{x\to +\infty} \Delta (x) &= +\infty >0
\end{split}
\]
il Teorema degli Zeri ti assicura che l'equazione \(\Delta (x)=0\) (equivalente all'equazione assegnata) ha almeno due soluzioni reali, una in $]0,3[$ e l'altra in $]3,+\infty[$.
Tendo a credere che tali soluzioni siano pure uniche, però la derivata prima di \(\Delta\) non fornisce immediatamente informazioni in merito.
P.S.: Il punto $3$ in cui calcolare la funzione $\Delta$ è scelto in modo furbo, cioè in modo da far annullare i contributi dell'esponenziale e della potenza.
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