Equazione trascendente

[stelladinatale1]

L'equazione
$x=e^{-c(1-x)}$
ammette sicuramente una soluzione per $x=1$ ma è vero che per ognii $c>0$ ammette anche un'altra soluzione compresa tra $0$ e $1$?

[RenzoDF]

Vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

Nel tuo caso avrai

$x=-\frac{1}{c}W_n(-ce^{-c})$

con n intero.

Giusto per fare un esempio, per $c > 1$, avremo sì la seconda soluzione compresa fra 0 e 1, per esempio con c=2

$x=e^{-2(1-x)}$

avremo come soluzioni reali

$x=-\frac{1}{2}W_0(-2e^{-2})\approx 0.2032$

$x=-\frac{1}{2}W_{-1}(-2e^{-2})=1$

ma per $0 < c < 1$ , la seconda soluzione risulta sempre superiore a 1 [nota]In quanto il secondo ramo reale $W_{-1}$ è sempre minore di -1.[/nota], per esempio con c=0.5

$x=-2W_{-1}(-1/{2\sqrt e })\approx 3.513$

soluzione tendente a infinito per c tendente a zero.

[quantunquemente]

"stelladinatale":L'equazione
$ x=e^{-c(1-x)} $
ammette sicuramente una soluzione per $ x=1 $ ma è vero che per ognii $ c>0 $ ammette anche un'altra soluzione compresa tra $ 0 $ e $ 1 $?

no
forniamo un controesempio : studia la funzione $f(x)=e^(x-1)-x$