Equazione secondo ordine non lineare

[mobley]

$ y''(x)+(y'(x))^2=1 $

$ y''+(y')^2=1 -> z=y' ->z'=y'' ->z'=-z^2+1$ ;
$ (z')/(-z^2+1)=1->int(dz)/(-z^2+1)=intdx $ ;
$ int(dz)/(-z^2+1)=int(dz)/((1+z)(1-z))=A/(1+z)+B/(1-z)=(A(1-z)+B(1+z))/((1+z)(1-z)) =(A-zA+B+zB)/((1+z)(1-z))=(z(B-A)+A+B)/((1+z)(1-z))->{ ( B-A=0 ),( A+B=1 ):}{ ( B=A ),( 2B=1 ):}{ ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $ ;
$ 1/2log(1+z)+1/2log(1-z)=x+c->1/2log((1+z)(1-z))=x+c->log(1-z^2)=2(x+c)->1-z^2=e^(2(x+c))->
z^2=-e^(2(x+c))+1->z=root()(-e^(2(x+c))+1)$
e da qui derivando $z$ mi trovo $y$. Non riesco a capire dove sbaglio però...qualcuno può aiutarmi?

[mdonatie]

Comincia a porre le giuste sostituzioni riducendo di un ordine la seguente equazione...
$y''(x)=z'(x)$
$y'(x)=z(x)$

Da questa ottieni: $z'+z^2=1$
questa non è altro che un'equazione differenziale a variabili separabili, perciò la difficolta sta nella risoluzione dell'integrale... (solitamente lo trovi nella tabella degli integrali)

$\int(dz)/(1-z^2)=1/2 \ln |(1+z)/(1-z)|+c$

Perciò sviluppando la soluzione sarà la seguente:

$z(x)=(e^(2x+k_1)-1)/(e^(2x+k_1)+1)$

Infine ricordando che $z(x)=y'(x)$ ti riconduci all'integrale:

$\int dy=\int (e^(2x+k_1)-1)/(e^(2x+k_1)+1) dx$

anche in questo caso l'integrale è fattibile, ad esempio puoi effettuare la sostituzione:
$t(x)=2x+k_1$ $rarr$ $dt=2dx$

$1/2 [ \int(e^t)/(e^t+1) dt - \int(1)/(e^t+1) dt ]$

Operando un ulteriore sostituzione:
$u(t)=e^t+1$ $rarr$ $du=e^t dt$
$w(t)=e^t$ $rarr$ $dw=e^t dt$

$1/2 [ \int(du)/u - \int (dw)/(w(w+1)) ]= 1/2 [ \int(du)/u - \int (dw)/w +\int(dw)/(w+1)) ] = 1/2 [ \ln ((u(w+1))/(w))]=\tildey$

Perciò:

$y(x)=\tilde{y}(x,k_1)+k_2$

[mobley]

ho rifatto i calcoli i calcoli, e concordo su tutto quello che dici ad eccezione di due cose:
1) siccome non mi sembra di vedere un ordine nella sommatoria tra logaritmi, perché non avrei potuto svolgere

$1/2[lnu-lnw+ln(w+1)]=1/2[lnu-ln(w(w+1))]=1/2[ln((u)/(w(w+1)))] $

In questo modo il segno di $y$ non sarebbe diventato negativo?

2) (ed è la questione principale, motivo per cui tra l'altro non ho potuto sviluppare l'esercizio):

$ int(dz)/(1-z^2)=int(dz)/((1-z)(1+z))=A/(1-z)+B/(1+z)=(A(1+z)+B(1-z))/((1-z)(1+z))=(A+Az+B-Bz)/((1-z)(1+z))=(z(A-B)+A+B)/((1-z)(1+z)) -> { ( A-B=0 ),( A+B=1 ):}{ ( A=B ),( 2B=1 ):}{ ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $

$ int(1/2)/(1-z)dz+int(1/2)/(1+z)dz=1/2ln(1-z)+1/2ln(1+z)=1/2ln(1-z^2) $

dato che $ log(a)+log(b)=log(a\cdotb) $

[mdonatie]

Per quanto riguarda la proprietà della somma di due funzioni logaritmiche con stessa base ok... però ricorda che $-\ln (a) =\ln (1/a)$
per questo ho scritto $1/2 \ln ((u(w+1))/w)$ che poi per semplicità ho chiamato $tilde y$ per non svilupparlo (pigrizia)

Comunque ok...

$I_{z(x)}=\int (dz)/(1-z^2) = \int (dz)/((1-z)(1+z)) = \int [ A/(1-z) + B/(1+z) ]dz = \int ((A-B)z+A-B)/(1-z^2) dz$

${(A-B=0),(A+B=1):}$ $rarr$ ${(B=1/2),(A=1/2):}$

(sto rifacendo tutti i passaggi per una mia sicurezza personale )

Adesso risolviamo singolarmente gli integrali:
$I_(z1)=1/2 \int 1/(1-z) dz$
sostituzione: $q=1-z$ $rarr$ $dq=-dz$
allora l'integrale diventa: $I_(z1)=-1/2 \int (dq)/q = -1/2 \ln (q) +c_(z1) = - 1/2 \ln (1-z)+c_(z1) = 1/2 \ln (1/(1-z))+c_(z1)$

Analogamente al secondo:
$I_(z2)=1/2 \int 1/(1+z) dz=1/2 \int (dp)/p= 1/2 \ln(z+1)+c_(z2)$

Ora applicando la proprietà dei logaritmi...

$I_(z1)+I_(z2)=1/2 \ln ((z+1)/(1-z))+c_z$

[mobley]

chiaro, grazie!