Equazione ricorsiva

[DajeForte]

Buongiorno a tutti, avrei un problema con la seguente:

$a_n=(1-kh)^2[a_(n-1)+(1-kh)^(n-3)(X_0-theta)]+theta$ per n=2,3,....

$a_1=X_0$

Il $theta$ finale non credo crei problemi; ho pensato di aggiungere al termine $a_(n-1)$ la quantità $theta/((1-kh)^2)(n-1)$.

Il resto invece ancora non so bene come trattarlo. La soluzione dovrebbe essere qualcosa del tipo $(X_0-theta)$ per qualcos'altro, magari di nordine 2 del tipo $(1-kh)^(2n)$, ma tipo perchè così non torna.

Grazie mille.

[ciampax]

Io proverei a cercare la funzione generatrice di quella successione, ma non so se è un metodo che conosci. In ogni caso, da quello che vedo [tex]$k,\ h,\ \theta,\ X_0$[/tex] sono delle costanti, giusto? Quindi almeno per "semplificare" la scrittura per il momento potresti scrivere la successione come

[tex]$a_{n}=\beta^2 a_{n-1}+\alpha\beta^{n-1}+\theta$[/tex]

dove [tex]$\alpha=X_0-\theta,\ \beta=1-kh$[/tex]. E facendo così mi sembra che la tua soluzione non torna, visto che risulta

[tex]$a_2=\beta^2 X_0+\alpha\beta+\theta=\beta[X_0-hk X_0+X_0-\theta]+\theta$[/tex]

che non vedo come si possa porre sotto la forma che dici.

[DajeForte]

Grazie della risposta.
Ma non so bene cosa sia la funzione generatrice.

Comunque con forza bruta sono arrivato a:

$alpha \ sum_{j=n-1}^(2n-3)beta^j+beta^(2n-2)+theta \ sum_(j=0)^(n-2)beta^(2j)$.

Vediamo, dovrebbe andare...
poi questo è solo l'inizio adesso arriva la prima generalizzazione.

[gugo82]

Sono possibili diversi modi di attaccare il problema.
Io proporrei la trasformata zeta unilatera.

Riscrivendo come ha fatto ciampax, ma con [tex]$n+1$[/tex] al posto di [tex]$n$[/tex], si determina la ricorrenza:

[tex]$\begin{cases} a(n+1)=\beta^2 a(n)+(\alpha \beta^n +\theta)\text{u}(n) \\ a(0)=X_0\end{cases}$[/tex]

ove [tex]$\text{u}(n)$[/tex] è la successione gradino unitario, i.e. la successione [tex]$=1$[/tex] per [tex]$n\geq 0$[/tex].
Applicando la trasformata zeta ad ambo i membri e ponendo, per comodità, [tex]$A(z):=\mathcal{Z}[a(n)](z)$[/tex], troviamo:

[tex]$zA(z)-zX_0=\beta^2 A(z)+\alpha \frac{1}{1-\frac{\beta}{z}} +\theta \frac{1}{1-\frac{1}{z}}$[/tex],

dalla quale, riordinando, si ottiene:

[tex]$(z-\beta^2) A(z)=X_0z+\alpha \frac{z}{z-\beta} +\theta \frac{z}{z-1}$[/tex],

sicché bisogna antitrasformare la funzione:

[tex]$A(z)=X_0 \frac{z}{z-\beta^2} +\alpha \frac{z}{(z-\beta)(z-\beta^2)} +\theta \frac{z}{(z-1)(z-\beta^2)}$[/tex].

Visto che l'antitrasformata è lineare, basta antitrsformare ogni addendo del secondo membro: risulta:

[tex]$\mathcal{Z}^{-1} [X_0 \tfrac{z}{z-\beta^2}] (n) = X_0 \mathcal{Z}^{-1} [\frac{1}{1-\frac{\beta^2}{z}}](n)=X_0 \beta^{2n} \text{u}(n)$[/tex],

[tex]$\mathcal{Z}^{-1} [\alpha \tfrac{z}{(z-\beta)(z-\beta^2)}](n) =\frac{\alpha}{\beta -\beta^2} \mathcal{Z}^{-1} [\frac{z}{z-\beta} -\frac{z}{z-\beta^2}] (n) =\frac{\alpha}{\beta -\beta^2} \left[ \beta^n \text{u} (n) -\beta^{2n} \text{u} (n)\right]$[/tex],

[tex]$\mathcal{Z}^{-1} [\theta \tfrac{z}{(z-1)(z-\beta^2)}](n) =\frac{\alpha}{1 -\beta^2} \mathcal{Z}^{-1} [\frac{z}{z-1} -\frac{z}{z-\beta^2}] (n) =\frac{\alpha}{1 -\beta^2} \left[ \text{u} (n) -\beta^{2n} \text{u} (n)\right]$[/tex],

quindi:

[tex]$a(n)=\mathcal{Z}^{-1} [A(z)](n) $[/tex]
[tex]$=\mathcal{Z}^{-1}[X_0 \frac{z}{z-\beta^2} +\alpha \frac{z}{(z-\beta)(z-\beta^2)} +\theta \frac{z}{(z-1)(z-\beta^2)}]$[/tex]
[tex]$=X_0 \beta^{2n} \text{u}(n) + \frac{\alpha}{\beta -\beta^2} \left[ \beta^n \text{u} (n) -\beta^{2n} \text{u} (n)\right] +\frac{\theta}{1 -\beta^2} \left[ \text{u} (n) -\beta^{2n} \text{u} (n)\right]$[/tex],

quindi riordinando trovi qualcosa del tipo:

[tex]$a(n)=(C_1\beta^{n}+C_2\beta^{2n}) \text{u}(n)$[/tex],

con [tex]$C_1,C_2$[/tex] costanti.

[ciampax]

Guarda, la soluzione che ho trovato, con il metodo della funzione generatrice, è la seguente:

[tex]$a_n=\frac{X_0 \beta^{n-1}(1-\beta^n)}{1-\beta}+\frac{\theta(1-\beta^{n-1})(1-\beta^n)}{1-\beta^2}$[/tex]

Se vuoi ti scrivo tutti i passaggi e ti spiego come funziona (non è neanche tanto complicato).

[elgiovo]

[piccola curiosità]

i metodi della funzione generatrice e della trasformata zeta sono praticamente lo stesso metodo, infatti le variabili "dummy" introdotte nei due casi sono una l'inversa dell'altra

[/piccola curiosità]

[DajeForte]

Eccomi.
@gugo82 & ciampax: grazie mille dell'interessamento.

Purtroppo non conosco i metodi che avete usato (elgiovo mi dice che sono due faccie della stessa medaglia).
Se avete qualche link con qualche dispensa potete segnalarmela. Io ora farò una ricerca su internet per approfondire. Se ho capito bene si tratta di trasformare l'equazione, risolvere la trasformata e anti trasformare. Un po' come si fa con una equazione differenziale con Fourier o Laplace.

@ciampax: credo che la soluzione che hai trovato sia uguale alla mia (tra poco la verifico) infatti dalla somma che ho scritto sopra ho progressioni geometriche che si semplificano in un risultato credo uguale.

Se vuoi scrivere qualche passaggio è bene accetto; sia chiaro ben chiaro sei hai tempo e vogia (già ti ringrazio ancora per l'interessamento).

Se vi interessa il termine $a_n$ rappresenta la varianza di un processo stocastico al tempo n; e per calcolarla ogni tanto capitano queste equazioni ricorsive, quindi conoscere qualche tecnica è utile per la risoluzione. Io brutalmente avevo espanso i primi termini, vedendo una ricorsività proposto una solujzione e poi verificata.


Grazie ancora.