Equazione retta tangente in due variabile
Buonasera.
Sia $f:A \to \mathbb{R}$, con $Asubseteq\mathbb{R}^n$ aperto.
Sia $x=(x_0,y_0) \in A$, inoltre, suppongo che la funzione ammetta derivate parziali.
Sto studiando l'equazione del piano tangente al grafico di $f$, sul libro analisi matematica due di Bramanti, Pagani, e Salsa, dove per determinare tale equazione fa il seguente ragionamento
sezioniamo il grafico di $f$ con il piano verticale $y=y_0$, dunque, da tale operazione si determina una curva $gamma$ data dall'intersezione fra il grafico di $f$ e il piano $y=y_0$ e di equazione $z=f(x,y_0)$, ossia funzione di una sola variabile $x$ essendo $y_0$ fisso.
Poiché $f$ ammette derivate parziali, allora, possiamo considerare $f_x(x_0,y_0)$ il quale rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva $gamma$ in $(x_0,y_0).$
Tale retta ha equazione $z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0),$ nel piano $y=y_0$.
Non capisco la seguente affermazione: La stessa retta nello spazio $(x,y,z)$ ha la seguente equazione
Io quello che so, e che una retta nello spazio passante per un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ e parallela al vettore $\vec{v}=(a,b,c)$ ha equazioni parametriche
Ora, la coordinata $z_0$ dovrebbe essere $f(x_0,y_0)$, invece, il vettore $\vec{v}=(a,b,c)$ è parallelo alla retta tangente, quindi, dovrebbe avere lo stesso coefficiente angolare di quest'ultima, cioè $f_x(x_0,y_0)$.
Come continuo?
Sia $f:A \to \mathbb{R}$, con $Asubseteq\mathbb{R}^n$ aperto.
Sia $x=(x_0,y_0) \in A$, inoltre, suppongo che la funzione ammetta derivate parziali.
Sto studiando l'equazione del piano tangente al grafico di $f$, sul libro analisi matematica due di Bramanti, Pagani, e Salsa, dove per determinare tale equazione fa il seguente ragionamento
sezioniamo il grafico di $f$ con il piano verticale $y=y_0$, dunque, da tale operazione si determina una curva $gamma$ data dall'intersezione fra il grafico di $f$ e il piano $y=y_0$ e di equazione $z=f(x,y_0)$, ossia funzione di una sola variabile $x$ essendo $y_0$ fisso.
Poiché $f$ ammette derivate parziali, allora, possiamo considerare $f_x(x_0,y_0)$ il quale rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva $gamma$ in $(x_0,y_0).$
Tale retta ha equazione $z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0),$ nel piano $y=y_0$.
Non capisco la seguente affermazione: La stessa retta nello spazio $(x,y,z)$ ha la seguente equazione
\begin{cases} z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0) \\ y=y_0
\end{cases}
\end{cases}
Io quello che so, e che una retta nello spazio passante per un punto $P(x_0,y_0,z_0)$ e parallela al vettore $\vec{v}=(a,b,c)$ ha equazioni parametriche
\begin{cases} x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct
\end{cases}
\end{cases}
Ora, la coordinata $z_0$ dovrebbe essere $f(x_0,y_0)$, invece, il vettore $\vec{v}=(a,b,c)$ è parallelo alla retta tangente, quindi, dovrebbe avere lo stesso coefficiente angolare di quest'ultima, cioè $f_x(x_0,y_0)$.
Come continuo?
Risposte
.
Buonasera, ti ringrazio per avermi risposto.
Però non ho capito, cioè, non mi è chiaro il modo con cui ti ricavi le coordinate del vettore $vec{v}$
ciao
Però non ho capito, cioè, non mi è chiaro il modo con cui ti ricavi le coordinate del vettore $vec{v}$
ciao
.
Buongiorno.
Forse non mi sono espresso bene.
Io ho questo problema, cioè ho questa equazione cartesiana della retta tangente nel piano $y=y_0$
Quindi, quello che penso che si dovrebbe fare è prendo l'equazione della retta parametrica passante per un punto $(c_1,c_2,c_3)$ di vettore direttore $v=(v_1,v_2,v_3)$, quindi ho
Ora per ottenere tale equazione cartesiana, elimino il parametro $t$ dal precedente sistema, e considerando che il vettore direttore è non nullo, posso supporre che $v_1ne0$, inoltre, sapendo che la retta passa per il punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$, ottengo
Correggimi se sbaglio
Dal messaggio iniziale ho detto che il vettore direttore è parallelo alla retta tangente, dunque deve avere lo stesso coefficiente angolare della retta tangente.
Poiché la retta tangente è perpendicolare all'asse $y$ segue che la componente $v_2$ deve essere nulla, per cui risulta
La componente $v_1$ è parallela all'asse $x$ quindi è pari a uno, infine, sempre perché il vettore direttore è parallelo alla retta tangente segue che la componente $v_3=f_x(x_0,y_0)$, cioè
Quanti errori ho fatto ?
Forse non mi sono espresso bene.
Io ho questo problema, cioè ho questa equazione cartesiana della retta tangente nel piano $y=y_0$
$z=f(x_0,y_0) +f_x(x_0,y_0)(x-x_0)$
la stessa la voglia riscrivere nello spazio $mathbb{R}^3$. Quindi, quello che penso che si dovrebbe fare è prendo l'equazione della retta parametrica passante per un punto $(c_1,c_2,c_3)$ di vettore direttore $v=(v_1,v_2,v_3)$, quindi ho
\[ \begin{cases} x = c_1 + tv_1 \\ y = c_2+tv_2 \\ z = c_3 + tv_3\ \\ \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \]
Ora per ottenere tale equazione cartesiana, elimino il parametro $t$ dal precedente sistema, e considerando che il vettore direttore è non nullo, posso supporre che $v_1ne0$, inoltre, sapendo che la retta passa per il punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$, ottengo
\[ \begin{cases} \tfrac{(x-x_0)}{v_1} = t \\ y=y_0 +\tfrac{(x-x_0)}{v_1}v_2 \\ z = f(x_0,y_0) + \tfrac{(x-x_0)}{v_1}v_3\ \\ \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \]
e quindi si ha \[ \begin{cases} y=y_0 +\tfrac{(x-x_0)}{v_1}v_2 \\ z = f(x_0,y_0) + \tfrac{(x-x_0)}{v_1}v_3\ \\ \end{cases} \]
Correggimi se sbaglio
Dal messaggio iniziale ho detto che il vettore direttore è parallelo alla retta tangente, dunque deve avere lo stesso coefficiente angolare della retta tangente.
Poiché la retta tangente è perpendicolare all'asse $y$ segue che la componente $v_2$ deve essere nulla, per cui risulta
\[ \begin{cases} y=y_0 \\ z = f(x_0,y_0) + \tfrac{(x-x_0)}{v_1}v_3\ \\ \end{cases} \]
La componente $v_1$ è parallela all'asse $x$ quindi è pari a uno, infine, sempre perché il vettore direttore è parallelo alla retta tangente segue che la componente $v_3=f_x(x_0,y_0)$, cioè
\[ \begin{cases} y=y_0 \\ z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0)\ \\ \end{cases} \]
Quanti errori ho fatto ?
.
"sellacollesella":
Il problema di fondo è capire da dove desideri partire e dove desideri arrivare!
Se l'autore del libro in cui stai studiando assegna il sistema di equazioni: \[
\begin{cases}
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) \\
y = y_0 \\
\end{cases}
\] sta semplicemende assegnando le equazioni cartesiane di una retta che in \(\mathbb{R}^3\) è da intendersi sempre come l'intersezione di due piani non paralleli, quindi per parametrizzarla basta seguire quanto descritto sopra.
No, qui non mi sono fatto capire, io ho l'equazione cartesiana della retta nel piano $y=y_0$, cioè
$z=+f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)$
da questa voglio ricavarmi, sotto le condizioni che sappiamo, questo\[ \begin{cases} z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) \\ y = y_0 \\ \end{cases} \]. Adesso, leggendo il tuo commento, cioè questo parte
"sellacollesella":
[*:30d7r0b8] individuando un punto di passaggio, che come hai ben scritto può essere \( (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) \);
[/*:m:30d7r0b8]
[*:30d7r0b8] individuando un vettore direttore che dovrà essere innanzitutto perpendicolare al vettore direttore del piano \( y=y_0 \) e inoltre tangente al grafico di \( z=f(x,y_0) \), da cui una possibilità è \( (1,0,f_x(x_0,y_0)) \);[/*:m:30d7r0b8][/list:u:30d7r0b8]
Vorrei costruirlo insieme, questo vettore. Però prima di iniziare a scrivere e per avere una maggiore comprensione, hai capito cosa voglia fare se no si crea una confusione totale.
Ciao
.
Ok hai trovato la chiave giusta .
Comunque, voglio fare tutti questi passaggi, perché ancora non ho fatto questa parte di geometria, quindi me la sono andato a leggere e non sono sicuro di aver compreso tutti i passaggi.
Comunque, inizio a considerare il piano passante per il punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$, e vettori direttori $v,w in \mathbb{R}^3$ linearmente indipendenti, cioè
I vettori $v, w$ gli do il seguente significato, direzione e inclinazione rispettivamente.
Per come è stato scelto dal libro, tale piano ha direzione lungo l'asse delle $x$ e parallelo all'asse $z$.
Fin qui dovrebbe essere tutto ok ?
. Comunque, voglio fare tutti questi passaggi, perché ancora non ho fatto questa parte di geometria, quindi me la sono andato a leggere e non sono sicuro di aver compreso tutti i passaggi.
Comunque, inizio a considerare il piano passante per il punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$, e vettori direttori $v,w in \mathbb{R}^3$ linearmente indipendenti, cioè
${(x_0,y_0,f(x_0,y_0))+tv+sw: t,s in \mathbb{R}}$
I vettori $v, w$ gli do il seguente significato, direzione e inclinazione rispettivamente.
Per come è stato scelto dal libro, tale piano ha direzione lungo l'asse delle $x$ e parallelo all'asse $z$.
Fin qui dovrebbe essere tutto ok ?
.
Seziono il grafico $z=f(x,y)$ con il suddetto piano, quindi, ottengo una curva $gamma$.
Tale curva giace nel piano insieme alla retta tangente alla curva $gamma$, nel punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$.
Tale retta è perpendicolare all'asse $y$ e tangente alla curva $gamma$.
Considero, l'equazione parametrica della retta (scusami se prendo un ulteriore vettore)
\[ \begin{cases} x = c_1 + pu_1 \\ y = c_2+pu_2 \\ z = c_3 + pu_3\ \\ \end{cases} \quad p \in \mathbb{R} \]
Impongo il passaggio per punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$, quindi ottengo
\[ \begin{cases} x = x_0 + pu_1 \\ y = y_0+pu_2 \\ z = f(x_0,y_0) + pu_3\ \\ \end{cases} \quad p \in \mathbb{R} \]
Se tale retta deve essere perpendicolare all’asse $y$ allora sarà perpendicolare a qualsiasi vettore ad esso parallelo, per cui sarà perpendicolare al vettore $e_2$.
Poiché due vettori si dicono perpendicolari se il loro prodotto scalare è nullo, questo implica che
$\=u_1*0+u_2*1+u_3*0=u_2*1=0$ allora $u_2=0$.
Quindi, abbiamo
\[ \begin{cases} x = x_0 + pu_1 \\ y = y_0 \\ z = f(x_0,y_0) + pu_3\ \\ \end{cases} \quad p \in \mathbb{R} . \]
ok?
.
Ora, forse, da questo istante non ci capiremo più ahahaha
Perché sei dal dentista ?
A parole devo riuscire a far vedere $u_1=1$ e $u_3=f_x(x_0,y_0)$
Una cosa che non ho specificato, il vettore direttore della retta è un versore
Adesso, la retta oltre ad essere perpendicolare all'asse $y$ e anche parallela all'asse $x$, e cioè parallelo al vettore $e_1$ quindi, l'angolo $alpha$ è $0$.
A questo punto grazie alla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz possiamo scrivere
Ora, ho
Pertanto \[ \begin{cases} p=x-x_0 \\ y = y_0 \\ z = f(x_0,y_0) + pu_3\ \\ \end{cases} \quad p \in \mathbb{R} \]
allora \[ \begin{cases} y = y_0 \\ z = f(x_0,y_0) + (x-x_0)u_3\ \\ \end{cases} \]
La componente $u_3$ rappresenta il coefficiente angolare della retta.
Tale retta deve essere tangente alla curva $gamma$ nel punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0)$
So che $f_x(x_0,y_0)$ è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva $gamma$ nel punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0)$.
Pertanto \[ \begin{cases} y = y_0 \\ z = f(x_0,y_0) +f_x(x_0,y_0)(x-x_0) \\ \end{cases} \]
Come va?
"sellacollesella":
Va più che bene quello che hai scritto, questo non è più greco antico, ma forse è l'anestesia del dentista che mi sta svanendo che mi permette di capire di più, che ne so!
Perché sei dal dentista
? A parole devo riuscire a far vedere $u_1=1$ e $u_3=f_x(x_0,y_0)$
Una cosa che non ho specificato, il vettore direttore della retta è un versore
Adesso, la retta oltre ad essere perpendicolare all'asse $y$ e anche parallela all'asse $x$, e cioè parallelo al vettore $e_1$ quindi, l'angolo $alpha$ è $0$.
A questo punto grazie alla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz possiamo scrivere
$1=cos(0)=frac{}{||u||||v||}$
Ora, ho
$||u||=1=||v||$ e $\=u_1*1+u_2*0+u_3*0=u_1*1=u_1$
cioè $u_1=1$, quindi ottengo \[ \begin{cases} x = x_0 + p \\ y = y_0 \\ z = f(x_0,y_0) + pu_3\ \\ \end{cases} \quad p \in \mathbb{R} . \]Pertanto \[ \begin{cases} p=x-x_0 \\ y = y_0 \\ z = f(x_0,y_0) + pu_3\ \\ \end{cases} \quad p \in \mathbb{R} \]
allora \[ \begin{cases} y = y_0 \\ z = f(x_0,y_0) + (x-x_0)u_3\ \\ \end{cases} \]
La componente $u_3$ rappresenta il coefficiente angolare della retta.
Tale retta deve essere tangente alla curva $gamma$ nel punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0)$
So che $f_x(x_0,y_0)$ è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva $gamma$ nel punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0)$.
Pertanto \[ \begin{cases} y = y_0 \\ z = f(x_0,y_0) +f_x(x_0,y_0)(x-x_0) \\ \end{cases} \]
Come va?
.
"sellacollesella":
[quote="p.v.14"]A parole devo riuscire a far vedere $u_1=1$ e $u_3=f_x(x_0,y_0)$.
Certo, quella è una possibilità. Infatti, tu sei interessato alle sole rette tangenti \(\gamma\), ossia di coefficiente angolare \(f_x(x_0,y_0)\), ossia immaginandoci un triangolo rettangolo di altezza \(u_3\) e base \(u_1\) vogliamo che la tangente dell'angolo alla base, che per definizione è pari al rapporto \(u_3/u_1\), sia pari a \(f_x(x_0,y_0)\), ossia \(u_3/u_1=f_x(x_0,y_0)\). Pertanto, io potrei anche scegliere \(u_1=1/2\) da cui \(u_3 = f_x(x_0,y_0)/2\), otterrei ugualmente un vettore direttore. Vista l'arbitrarietà nella scelta, si preferisce evitare frazioni, per cui si è soliti assumere \(u_1=1\) da cui segue \(u_3 = f_x(x_0,y_0)\).
[/quote]
Ok.
Grazie
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