Equazione piano complesso
Salve a tutti ragazzi!!
Dovrei risolvere nel piano complesso la seguente equazione, mediante l'utilizzo delle formule di Eulero:
$cosz+sinz=1$
Quindi, se i seguenti passaggi sono corretti otterrei:
$cosz+sinz=1=>(e^(iz)+e^(-iz))/2+(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)=1=$
$i(e^(iz)+e^(-iz))+e^(iz)-e^(-iz)=2i$
Ora effettuando la sostituzione $t=e^(iz)$:
$i(e^(iz)+e^(-iz))+e^(iz)-e^(-iz)=2i=>i(t+i/t)+t-i/t=2i=$
$it-1/t+t-i/t=2i=$
$t(it-1/t+t-i/t)=2it=$
$it^2-1+t^2-i=2it=$
$it^2-1+t^2-i-2it=0=$
$(1+i)t^2-2it-1-i=0$
Adesso applicando la formula risolutiva ottengo:
$t=(2i+-sqrt((-2i)^2+4(1+i)(1+i)) )/(2(1+i))=(2i+-sqrt(-4+4(1-1+2i) ))/(2(1+i))=(2i+-sqrt(-4+8i))/(2(1+i))$
A questo punto mi sorgono dei dubbi in quanto solitamente in questi esercizi il discriminante è un numero reale.
Ho provato più volte a ricontrollare ogni passaggio ma non trovo nessun errore.
Prima di andare avanti qualcuno potrebbe dare un'occhiata a quello che ho fatto e magari darmi qualche consiglio utile su come risolvere questi esercizi in modo pratico?
Grazie mille a tutti!
Dovrei risolvere nel piano complesso la seguente equazione, mediante l'utilizzo delle formule di Eulero:
$cosz+sinz=1$
Quindi, se i seguenti passaggi sono corretti otterrei:
$cosz+sinz=1=>(e^(iz)+e^(-iz))/2+(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)=1=$
$i(e^(iz)+e^(-iz))+e^(iz)-e^(-iz)=2i$
Ora effettuando la sostituzione $t=e^(iz)$:
$i(e^(iz)+e^(-iz))+e^(iz)-e^(-iz)=2i=>i(t+i/t)+t-i/t=2i=$
$it-1/t+t-i/t=2i=$
$t(it-1/t+t-i/t)=2it=$
$it^2-1+t^2-i=2it=$
$it^2-1+t^2-i-2it=0=$
$(1+i)t^2-2it-1-i=0$
Adesso applicando la formula risolutiva ottengo:
$t=(2i+-sqrt((-2i)^2+4(1+i)(1+i)) )/(2(1+i))=(2i+-sqrt(-4+4(1-1+2i) ))/(2(1+i))=(2i+-sqrt(-4+8i))/(2(1+i))$
A questo punto mi sorgono dei dubbi in quanto solitamente in questi esercizi il discriminante è un numero reale.
Ho provato più volte a ricontrollare ogni passaggio ma non trovo nessun errore.
Prima di andare avanti qualcuno potrebbe dare un'occhiata a quello che ho fatto e magari darmi qualche consiglio utile su come risolvere questi esercizi in modo pratico?
Grazie mille a tutti!
Risposte
"Gost91":
Ora effettuando la sostituzione $t=e^(iz)$:
$i(e^(iz)+e^(-iz))+e^(iz)-e^(-iz)=2i=>i(t+i/t)+t-i/t=2i=$
Questa sostituzione è errata: deve essere
[tex]$i\left(t+\frac{1}{t}\right)+t-\frac{1}{t}=2i$[/tex]
Da dove arrivano quelle $i$?
Oddio, sono senza parole...
Grazie ciampax correggo e provo ad andare avanti.
Grazie ciampax correggo e provo ad andare avanti.
Bien. In ogni caso, riguardo alla tua prima domanda, se dovessi avere una equazione con discriminante complesso devi calcolare le due radici del numero: un metodo "veloce" è il seguente. Se il discriminante è [tex]$a+ib$[/tex] allora devi cercare un numero complesso [tex]$x+iy$[/tex] tale che [tex]$(x+iy)^2=a+ib\ \Rightarrow\ x^2-y^2+2ixy=a+ib$[/tex] e quindi devono valere le condizioni
[tex]$a=x^2-y^2,\ b=2xy$[/tex]
[tex]$a=x^2-y^2,\ b=2xy$[/tex]
Quindi, dimenticando quel brutto momento, riparto:
$i(t+1/t)+t-1/t=2i=$
$(i+1)t^2-2it+i-1=0$
Formula risolutiva:
$t=(2i+-sqrt(-4-4(i+1)(i-1)))/(2(i+1))=(2i+-sqrt(-4-4(-1-1)))/(2(i+1))=(2i+-sqrt(4))/(2(i+1))=(2i+-2)/(2(i+1))=(i+-1)/(i+1)$
Quindi ottengo $t_1=(i+1)/(i+1)=1$ e $t_2=(i-1)/(i+1)=(i-1)(i+1)=-1-1=-2$
Sperando di aver svolto i calcoli correttamente, ottengo le 2 seguenti relazioni:
$e^(iz)=1$ e $e^(iz)=-2$.
Il vero problema arriva a questo punto.
Sinceramente non saprei come andare avanti, comunque (ora non vorrei direi una bischerata...) mi sembra di ricordarmi che $e^(iz)$ sia l'espressione esponenziale di un numero complesso.
Però il modulo non compare, sicchè mi verrebbe da affermare che sia unitario.
Comunque prima di andare avanti attendo una vostra opinione.
$i(t+1/t)+t-1/t=2i=$
$(i+1)t^2-2it+i-1=0$
Formula risolutiva:
$t=(2i+-sqrt(-4-4(i+1)(i-1)))/(2(i+1))=(2i+-sqrt(-4-4(-1-1)))/(2(i+1))=(2i+-sqrt(4))/(2(i+1))=(2i+-2)/(2(i+1))=(i+-1)/(i+1)$
Quindi ottengo $t_1=(i+1)/(i+1)=1$ e $t_2=(i-1)/(i+1)=(i-1)(i+1)=-1-1=-2$
Sperando di aver svolto i calcoli correttamente, ottengo le 2 seguenti relazioni:
$e^(iz)=1$ e $e^(iz)=-2$.
Il vero problema arriva a questo punto.
Sinceramente non saprei come andare avanti, comunque (ora non vorrei direi una bischerata...) mi sembra di ricordarmi che $e^(iz)$ sia l'espressione esponenziale di un numero complesso.
Però il modulo non compare, sicchè mi verrebbe da affermare che sia unitario.
Comunque prima di andare avanti attendo una vostra opinione.
Ah grazie ciampax per il consiglio riguardo il calcolo la radice di un numero complesso!
Comunque è valido per radici di ogni indice o solo per le quadrate?
...Mi correggo, è valido per ogni radice di indice pari?
Comunque è valido per radici di ogni indice o solo per le quadrate?
...Mi correggo, è valido per ogni radice di indice pari?
[tex]$t_2=\frac{i-1}{i+1}=\frac{(i-1)(1-i)}{|i+1|^2}=\frac{1-1-2i}{2}=-i$[/tex]
Ora dovrai usare la definizione di esponenziale complesso: se $z=x+iy$ allora puoi scrivere
[tex]$e^{iz}=e^{ix-y}=e^{-y}\left(\cos x+i\sin x\right)$[/tex]
Trasforma le soluzioni in $t$ in forma trigonometrica e risolvi le equazioni: ad esempio essendo $1=\cos 0+i\sin 0$ si ha
[tex]$e^{-y}=1,\qquad \cos x=1,\ \sin x=0\ \Rightarrow\ y=0,\ x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\ \Rightarrow z=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$[/tex]
prova con l'altra.
EDIT: quel metodo è valido solo per le radici quadrate. Per le altre devi usare la formula di de Moivre inversa, che fornisce le radici ennesime di un numero complesso.
Ora dovrai usare la definizione di esponenziale complesso: se $z=x+iy$ allora puoi scrivere
[tex]$e^{iz}=e^{ix-y}=e^{-y}\left(\cos x+i\sin x\right)$[/tex]
Trasforma le soluzioni in $t$ in forma trigonometrica e risolvi le equazioni: ad esempio essendo $1=\cos 0+i\sin 0$ si ha
[tex]$e^{-y}=1,\qquad \cos x=1,\ \sin x=0\ \Rightarrow\ y=0,\ x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\ \Rightarrow z=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$[/tex]
prova con l'altra.
EDIT: quel metodo è valido solo per le radici quadrate. Per le altre devi usare la formula di de Moivre inversa, che fornisce le radici ennesime di un numero complesso.
Ok ci provo.
Intanto provo a ricostruire tutti passaggi per arrivare alla relazione $e^(iz)=e^(-y)(cosx+isinx)$
Posto $z=x+iy$ si ha che $e^(iz)=e^(i(x+iy))=e^(ix-y)$
Siccome $e^(ix)=cosx+isinx$ si ottiene $e^(iz)=e^(-y)(cosx+isinx)$.
Ora provo a risolvere l'esercizio.
Porto $t_2=i$ in forma trigonometrica:
$Re(t)=0$
$Im(t)=1$
Quindi devo risolvere il seguente sistema:
$\{(cos\theta=0),(sin\theta=1):}$
Da cui ricavo che $\theta=pi/2+2kpi$ con k numero naturale.
Quindi se ho fatto bene i conti $t_2=cos(pi/2+2kpi)+isin(pi/2+2kpi)$
Ho ottenuto la relazione $e^(-y)(cosx+isinx)=cos(pi/2+2kpi)+isin(pi/2+2kpi)$
E a questo punto mi blocco:
Perdonami ciampax ma non ho ben capito come funziona il metodo.
Intanto provo a ricostruire tutti passaggi per arrivare alla relazione $e^(iz)=e^(-y)(cosx+isinx)$
Posto $z=x+iy$ si ha che $e^(iz)=e^(i(x+iy))=e^(ix-y)$
Siccome $e^(ix)=cosx+isinx$ si ottiene $e^(iz)=e^(-y)(cosx+isinx)$.
Ora provo a risolvere l'esercizio.
Porto $t_2=i$ in forma trigonometrica:
$Re(t)=0$
$Im(t)=1$
Quindi devo risolvere il seguente sistema:
$\{(cos\theta=0),(sin\theta=1):}$
Da cui ricavo che $\theta=pi/2+2kpi$ con k numero naturale.
Quindi se ho fatto bene i conti $t_2=cos(pi/2+2kpi)+isin(pi/2+2kpi)$
Ho ottenuto la relazione $e^(-y)(cosx+isinx)=cos(pi/2+2kpi)+isin(pi/2+2kpi)$
E a questo punto mi blocco:
Perdonami ciampax ma non ho ben capito come funziona il metodo.
Ma se applicassi $log(e^(iz))$?
$iz=log(i)=log(|i|)+i(\theta+2kpi)=log(1)+i(pi/2+2kpi)=>z=(log(1))/i+pi/2+kpi$
Però adesso il problema consisterebbe nel portare z nella forma algebrica...
$iz=log(i)=log(|i|)+i(\theta+2kpi)=log(1)+i(pi/2+2kpi)=>z=(log(1))/i+pi/2+kpi$
Però adesso il problema consisterebbe nel portare z nella forma algebrica...
E' giusto risolvere [tex]$\cos x=\cos\frac{\pi}{2},\ \sin x=\sin\frac{\pi}{2}$[/tex] e inoltre [tex]$e^{-y}=1$[/tex], da cui
[tex]$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ y=0$[/tex]
e quindi le soluzioni [tex]$z=\frac{\pi}{2}+2k\pi$[/tex].
Usando la definizione di logaritmo, come hai fatto, ottieni lo stesso risultato: infatti $\log(1)=0$ e quindi hai già la forma algebrica.
[tex]$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ y=0$[/tex]
e quindi le soluzioni [tex]$z=\frac{\pi}{2}+2k\pi$[/tex].
Usando la definizione di logaritmo, come hai fatto, ottieni lo stesso risultato: infatti $\log(1)=0$ e quindi hai già la forma algebrica.
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