Equazione parametrica -Tema d'esame

[Camillo]

Per quali valori di $ a , b $ l'equazione :
$ (x-2)(x^2-1) = ax +b $
ammette esattamente 2 soluzioni distinte, una delle quali sia $ 0 $ ?.

[_luca.barletta]

Osservando il grafico di $f(x)=(x-2)(x^2-1)$ notiamo che l'unica retta che soddisfa alle richieste è la tangente alla curva $f(x)$ per $x=1$.

Dunque:

$f'(1)=(3x^2-1-4x)|_(x=1)=-2=a$

$-2*(1)+b=0 rarr b=2$

[fu^2]

$(x-2)(x^2-1)=ax+b$sviluppandolo$x^3-2x^2-x(1+a)+2-b=0$

una soluzione deve essere uguale a zero, quindi sostituiamo questo valore nell'equazione e otteniamo b=2

quindi l'equazione rimane $x(x^2-2x+1+a)=0$
quindi uan soluzione è appunto x=0
l'altra è data dalla risoluzione dell'equazione $(x^2-2x+1+a)=0$ e deve dare una sola soluzione, quindi
$1+-sqrt(1+(1+a))=0$ per far si che la soluzione sia unica il discriminante deve essere ugule a zero, quindi $1+(1+a)=0$da cui otteniamo a=-2

quindi
$b=2$
$a=-2$

[_luca.barletta]

fu^2, credo che la tua soluzione porti a 3 intersezioni tra le due curve.

[fu^2]

infatti mi son accorto di un erroraccio che ho fatto...
il discriminante, visto che ho usato la formula ridotta nn è 1-4(1+a), ma $1+(1+a)=0$, quindi a=-2

un piccolo errore di distrazione...
quindi
$b=2
$a=-2

ho editato correggendo l'esercio di sopra

[Steven11]

Ciao Camillo, senti per curiosità in che occasione ti è stato proposto questo esercizio?
Dato che ci troviamo nella sezione università, che facoltà frequenti? ciao

[Camillo]

@Steven : è stato dato come esercizio allo scritto di Matematica 1 ad Agraria- Scienza della alimentazione .
Io ho frequentato ( Ingegneria ... un po' di anni fà ).

Non ho ancora visto la soluzione completa dell'esercizio, non così banale come potrebbe sembrare a prima vista .

[Steven11]

Ah poi un altra cosa: qualcuno potrebbe per favore descrivermi il grafico della funzione $f(x)=(x-2)(x^2-1)$ ?
Sono al quarto liceo, non sono in grado di rappresentarla graficamente (spero che sia normale per il mio livello).
Per descrizione intendo anche una descrizione stupida, magari ditemi se assomiglia a un altra curva più nota. Grazie in anticipo, ciao.

[fu^2]

camillo scusa ma se l'esercizio che hai dato è stao risolto con due diverse soluzioni, cheportano entrambe alla stessa conclusione, in che senso nn hai visto la soluzione completa dell'esercizio?... nn l'hai postato tutto?---

[fu^2]

ecco le due funzioni

GRAZIE DERIVEEEEEEE!!!!!!!!

http://img483.imageshack.us/my.php?imag ... ineej4.png

[MaMo2]

Manca la soluzione a = - 1.
Essa si ottiene da:

$1+-sqrt(2+a)=0$

[Camillo]

"MaMo":Manca la soluzione a = - 1.
Essa si ottiene da:

$1+-sqrt(2+a)=0$

OK , questa mancava

[Camillo]

"+Steven+":Ah poi un altra cosa: qualcuno potrebbe per favore descrivermi il grafico della funzione $f(x)=(x-2)(x^2-1)$ ?
Sono al quarto liceo, non sono in grado di rappresentarla graficamente (spero che sia normale per il mio livello).
Per descrizione intendo anche una descrizione stupida, magari ditemi se assomiglia a un altra curva più nota. Grazie in anticipo, ciao.

Si tratta di una cubica in quanto la sua espressione analitica è di terzo grado.
Puoi trovare gli zeri della funzione , le ascisse cioè dei punti in cui la funzione vale $ 0$.
Basta risolvere l'equazione $(x-2)(x^2-1) = 0 $ , le cui radici sono $x=1, x=-1, x=2$.
Si può studiare il segno della funzione , cioè in quali intervalli è positiva e in quali negativa .
Basta risolvere la disequazione : $(x-2)(x^2-1) > 0 $ e si trova che la funzione è positiva in $(-1; 1)U(2 ; +oo)$ mentre è negativa in $(-oo ; -1)U(1; 2 ) $ .
Per proseguire e trovare i punti di max e min relativi ci vogliono delle conoscenze di analisi che ancora non hai...
Un 'ultima considerazione si può fare : se $ x rarr +oo $ allora la funzione $ rarr +oo $ in quanto il termine predominante $ x ^3 $ tende a $+oo $ e analogamente se $x rarr -oo $ allora la funzione $ rarr -oo $ .
POi si può calcolare $f(0) = 2 $.
Con questi dati si può tracciare un tentativo di grafico.

[Steven11]

Grazie mille a tutti, ciao