Equazione parametrica di una retta tangente ad una curva

[stars123]

Spero di non aver sbagliato sezione.. Volevo una mano con questo esercizio: data la circonferenza C di centro P(2,0) e raggio 1, determinare le equazioni parametriche (lo sottolineo) della retta tangente a C nel punto A (1,0). Io ho trovato la circonferenza che è $ x^(2) $ + $ y^(2) $ - 4x + 3 = 0.. Il problema sta nell'equazione parametrica della retta... per determinarla ho pensato che dovrei avere il vettore tangente alla circonferenza, ma non so come determinarlo! Qualcuno sa aiutarmi?

[enr87]

se è un esercizio di analisi 2 puoi interpretare la circonferenza come la curva di livello di un paraboloide, dunque ti vai a trovare il gradiente nel punto A (nota che il gradiente è sempre ortogonale alle curve di livello), e infine fai il prodotto scalare col vettore (x-x_A,y-y_A) e poni uguale a 0.
per la rappresentazione parametrica ti consiglio quella cartesiana, in cui puoi usare la x come parametro, e poi la y è espressa in funzione di x

[stars123]

No, è un esercizio di analisi 1 l'ha dato il mio prof come compito d'esame. Grazie comunque!

[stars123]

C'è un modo per determinare il vettore tangente ad una curva partendo da un punto della curva?

[dissonance]

Ma certo che c'è, basta conoscere una parametrizzazione: ma questo dovresti saperlo. Allora ti è sufficiente determinare che tipo di curva è determinata implicitamente dall'equazione assegnata, trovarne una parametrizzazione e applicare quanto appena ricordato.

[mod="dissonance"]Rammento inoltre di non fare sollecitazioni di tipo "UP" prima di 24 ore dall'ultimo post. Vedi regolamento 3.3. Grazie.[/mod]

[stars123]

Forse non conosco a pieno l'argomento, perchè davvero non ho capito come fare. io l'unica cosa che ho fatto (nel senso che è l'unica che mi è stata spiegata ed è in programma) è l'equazione parametrica della retta del tipo x= xo + kt
y= yo + ht
dove k e h sono le componenti del vettore e xo e yo sono le coordinate di un punto

[dissonance]

Va bene allora ragiona un po' a senso e soprattutto geometricamente. Disegna la circonferenza in questione. Chi è la retta ad essa tangente nel punto $(1, 0)$? Disegnala. Poi producine equazioni parametriche o cartesiane, quello che vuoi. Ti garantisco che è facile in tutti e due i casi.

[stars123]

la retta tangente è x=1 l'ho trovata facendo l'intersezione tra la circonferenza e la retta passante per A (e in effetti si vede anche graficamente), ma come la scrivo in forma parametrica?

[dissonance]

Riflettici un pochino, è proprio questo lo scopo dell'esercizio. Devi ottenere una cosa tipo ${(x=x(t)), (y=y(t)):}$. Cosa deve andare nella prima equazione? Lo hai già detto. E nella seconda?

[stars123]

La seconda è y=0? non so se ho capito, perchè a questo punto il vettore che troverei è il vettore nullo. Ci sto provando, ma nn ci riesco -.-" grazie per il supporto!

[dissonance]

Ti sei risposto da solo, non può essere $y=0$. Ti ripeto, prova ad andare un po' a senso, poi dopo farai tutte le riflessioni che vuoi su vettori direttori e compagnia bella. Scriviti tre o quattro punti della retta, ad esempio $(1,0), (1,1), (1, 2)...$ e cerca di indovinare quale possa essere l'equazione che li copre tutti.

[stars123]

Facendo così ho determinato che il vettore ha componenti 0 e -1, quindi l'equazione parametrica dell retta tangente alla circonferenza in A(1,0) del tipo x=xo + kt
y=yo + ht
mi viene x=1
y=-t è questa? Se si potevo arrivarci in un modo più veloce? Cioè c'è un modo per determinare il vettore tangente alla circonferenza senza prima vedere qual è l'equazione cartesiana della retta tangente?