Equazione parametrica di una curva

[mimm8]

ciao :hi ho un problema con un esercizio,dovrei calcolare il sostegno e la lunghezza (esatta o approssimata) di una curva espressa da questa equazione parametrica:

[math]\varphi(t)\ =\ (t\ cos(t),t\ sin(t))\\[/math]

con

[math]t\ \in\ [0,10\pi]\\[/math]

Grazie :)

[Studente Anonimo]

Dati un arco di curva

[math]\gamma[/math]

di equazione vettoriale

[math](x,\,y,\,z) = \mathbf{r}(t)[/math]

per

[math]t \in [a,\,b] \subset \mathbb{R}[/math]

e una funzione scalare

[math]f(x,\,y,\,z)[/math]

definita in una re-
gione dello spazio contenente

[math]\gamma[/math]

, per definizione di integrale di linea (di
prima specie):

[math]\int_{\gamma} f\,ds := \int_a^b f(\mathbf{r(t)})|\mathbf{r}'(t)|dt[/math]

. Per calcolare la
lunghezza di

[math]\gamma[/math]

è sufficiente porre

[math]f(x,\,y,\,z) = 1[/math]

, ottenendo:

[math]|\gamma| = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|dt\\[/math]

.


Nel caso in oggetto, data la curva di equazione vettoriale

[math]\mathbf{r}(t) := (t\,\cos t, \; t\,\sin t)[/math]

, per

[math]t \in [0,\,10\pi][/math]

, la
lunghezza del proprio sostegno

[math]\gamma[/math]

è:

[math]\small |\gamma| = \int_0^{10\pi} \sqrt{1 + t^2}\,dt\\[/math]

.

A te il conto. ;)

[mimm8]

scusa, ma quell'integrale come si calcola? :wall

[Studente Anonimo]

A tal proposito ti allego un pdf che avevo scritto qualche anno fa. ;)

[mimm8]

fantastico! grazie :thx