Equazione Parabola in forma polare
Ciao, mi stavo chiedendo come si potesse trovare l'equazione della parabola $y= ax^2 +bx +c$ in forma polare.
So come trovare la forma polare dell'equazione $y=x^2$ però in questo caso non so cosa fare.
Mi potete aiutare?
So come trovare la forma polare dell'equazione $y=x^2$ però in questo caso non so cosa fare.
Mi potete aiutare?
Risposte
Ciao Lore.p98,
Beh, non vedo quale sia il problema, basta sostituire $x = \rho cos\theta$ e $y = \rho sin\theta $:
$\rho sin\theta = a\rho^2 cos^2\theta + b\rho cos\theta + c $
$ \rho(sin\theta - a\rho cos^2\theta - b cos\theta) = c $
Beh, non vedo quale sia il problema, basta sostituire $x = \rho cos\theta$ e $y = \rho sin\theta $:
$\rho sin\theta = a\rho^2 cos^2\theta + b\rho cos\theta + c $
$ \rho(sin\theta - a\rho cos^2\theta - b cos\theta) = c $
Come espliciti $rho$?
Sostituendo le espressioni in coordinate polari di $x$ ed $y$ ottieni l'equazione:
\[
a\cos^2 \theta\ \rho^ 2 + (b \cos \theta - \sin \theta)\ \rho + c = 0
\]
che è di secondo grado in $rho$ ed ha $theta$ come parametro.
Ovviamente, per fatti geometrici, fissati che siano i tre coefficienti $a,b,c in RR$ (con $a!= 0$) essa non ha soluzione per alcuni valori di $theta$ e ne ha due (al più coincidenti) per altri, oppure ha sempre unica soluzione o nessuna, a seconda di com'è posizionato il polo $O$ delle coordinate polari rispetto alla parabola di equazione $y=ax^2+bx+c$.
Quindi, fare un discorso generale e generico, è oltremodo seccante (si dovranno distinguere molti casi e non vale la pena)... Prova con qualche caso particolare per farti un'idea.
\[
a\cos^2 \theta\ \rho^ 2 + (b \cos \theta - \sin \theta)\ \rho + c = 0
\]
che è di secondo grado in $rho$ ed ha $theta$ come parametro.
Ovviamente, per fatti geometrici, fissati che siano i tre coefficienti $a,b,c in RR$ (con $a!= 0$) essa non ha soluzione per alcuni valori di $theta$ e ne ha due (al più coincidenti) per altri, oppure ha sempre unica soluzione o nessuna, a seconda di com'è posizionato il polo $O$ delle coordinate polari rispetto alla parabola di equazione $y=ax^2+bx+c$.
Quindi, fare un discorso generale e generico, è oltremodo seccante (si dovranno distinguere molti casi e non vale la pena)... Prova con qualche caso particolare per farti un'idea.
Partendo dalla equazione y=ax^2+bx+c sostituendo ottengo la seguente equazione in cordinate polari:$a\cos^2 \theta\ \rho^ 2 + (b \cos \theta - \sin \theta)\ \rho + c = 0$
nel caso $c$ fosse 0 si potrebbe espicitare $rho$, quindi ho fatto in modo che c risultasse 0, coscruendo un piano cartesiano ausiliario di cordinate $(u,v)$ in modo che l'equazione della parabola diventasse $v=au^2+bu$
Ora posso trovare le cordinate polari rispetto al nuovo polo,$( u=rho_1cos(theta_1) , v=rho_1sin(theta_1) )$
Quindi l'equazione della parabola diventa in questo caso $rho_1sin(theta_1)=a(rho_1cos(theta_1))^2+brho_1cos(theta_1)$
esplicitando rho_1 otteniamo $rho_1=(sectheta(tantheta-b))/a $ con $a\ne0$ e $theta\ne0$.
Per ritornate a $rho$ possiamo utilizzare il teorema di carnot: $rho=sqrt(c^2+rho_1^2-2crho_1cosalpha)$ ma $alpha=90-theta$ quindi $rho=sqrt(c^2+rho_1^2-2crho_1sintheta)$
in definitiva $rho=sqrt(c^2+((sectheta(tantheta-b))/a)^2-(2ctantheta(tantheta-b))/a)$
Pensate sia corretto?
nel caso $c$ fosse 0 si potrebbe espicitare $rho$, quindi ho fatto in modo che c risultasse 0, coscruendo un piano cartesiano ausiliario di cordinate $(u,v)$ in modo che l'equazione della parabola diventasse $v=au^2+bu$
Ora posso trovare le cordinate polari rispetto al nuovo polo,$( u=rho_1cos(theta_1) , v=rho_1sin(theta_1) )$
Quindi l'equazione della parabola diventa in questo caso $rho_1sin(theta_1)=a(rho_1cos(theta_1))^2+brho_1cos(theta_1)$
esplicitando rho_1 otteniamo $rho_1=(sectheta(tantheta-b))/a $ con $a\ne0$ e $theta\ne0$.
Per ritornate a $rho$ possiamo utilizzare il teorema di carnot: $rho=sqrt(c^2+rho_1^2-2crho_1cosalpha)$ ma $alpha=90-theta$ quindi $rho=sqrt(c^2+rho_1^2-2crho_1sintheta)$
in definitiva $rho=sqrt(c^2+((sectheta(tantheta-b))/a)^2-(2ctantheta(tantheta-b))/a)$
Pensate sia corretto?
Qualcuno può aiutarmi?
Ciao! Ti ha già risposto piloeffe.
Basta trasformare $(x,y)|->(r cos theta,rsintheta)$ e imporre $f(r cos theta)=rsintheta$ e finisci.
Trovare una equazione ed esplicitarla rispetto ad una variabile, sono due cose diverse. Puoi a meno che nonché ti sia richiesto, l’esercizio lo puoi considerare concluso
Basta trasformare $(x,y)|->(r cos theta,rsintheta)$ e imporre $f(r cos theta)=rsintheta$ e finisci.
Trovare una equazione ed esplicitarla rispetto ad una variabile, sono due cose diverse. Puoi a meno che nonché ti sia richiesto, l’esercizio lo puoi considerare concluso
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