Equazione oscillatore smorzato
Ciao a tutti 
Ho una domanda da porvi...
Sto considerando le oscillazioni smorzate in un circuito RLC senza generatore di fem alternata, quindi un circuito LC con R da smorzante.
Vi mostro tutto il ragionamento. $ q/C-L(di)/dt=Ri $
ora sistemo l'equazione in una forma più comoda e differenzio una volta rispetto al tempo, ottenendo
$ (d^2i)/dt^2+R/L(di)/dt+(i)/(LC)=0 $ specificando che $ i $ è il valore della corrente, $ C $ è la capacità del condensatore
, $ R $ il valore della resistenza e $ L $ l'induttanza . Specifico anche che vale $ i=-(dq)/dt $
Dunque, quella che trovo è l'equazione descrivente il moto dell'oscillatore smorzato.
Considero dunque l'equazione secolare agli autosaloni
$ \lambda^2+R/L\lambda+1/(LC) $
risolvo
$ \lambda_(1,2)=\frac(-(R/L)+- sqrt((R^2)/L^2-4/(LC)))(2) $
dunque
$ \gamma=R/(2L) $ e $ \omega=1/sqrt(LC) $ .
Ora considero il caso delle oscillazioni sottosmorzate, quindi $ \gamma^2<\omega^2 $ e trovo che $ R^2/(4L^2)<1/(LC) $ $ rArr $ $ R^"<4/(LC) $
posso allora andare a considerare la soluzione
$ i(t)=e^(-\gammat)(A1cos(\omegat)+A2sin(\omegat)) $ con $ \omega=1/2sqrt((2/(LC))^2+(R/L)^2) $ da cui
$ \omega^2=1/(LC)-(R/(2L))^2 $ ovvero $ \omega^2=\omega_0^2-\gamma^2 $
Però il mio prof ha scritto come soluzione
$ i(t)=Ae^(-\gammat)cos(\omegat+\phi) $
Non ho ben capito perché. Mi aiutereste a capirlo?
Grazie
Ho una domanda da porvi...
Sto considerando le oscillazioni smorzate in un circuito RLC senza generatore di fem alternata, quindi un circuito LC con R da smorzante.
Vi mostro tutto il ragionamento. $ q/C-L(di)/dt=Ri $
ora sistemo l'equazione in una forma più comoda e differenzio una volta rispetto al tempo, ottenendo
$ (d^2i)/dt^2+R/L(di)/dt+(i)/(LC)=0 $ specificando che $ i $ è il valore della corrente, $ C $ è la capacità del condensatore
, $ R $ il valore della resistenza e $ L $ l'induttanza . Specifico anche che vale $ i=-(dq)/dt $
Dunque, quella che trovo è l'equazione descrivente il moto dell'oscillatore smorzato.
Considero dunque l'equazione secolare agli autosaloni
$ \lambda^2+R/L\lambda+1/(LC) $
risolvo
$ \lambda_(1,2)=\frac(-(R/L)+- sqrt((R^2)/L^2-4/(LC)))(2) $
dunque
$ \gamma=R/(2L) $ e $ \omega=1/sqrt(LC) $ .
Ora considero il caso delle oscillazioni sottosmorzate, quindi $ \gamma^2<\omega^2 $ e trovo che $ R^2/(4L^2)<1/(LC) $ $ rArr $ $ R^"<4/(LC) $
posso allora andare a considerare la soluzione
$ i(t)=e^(-\gammat)(A1cos(\omegat)+A2sin(\omegat)) $ con $ \omega=1/2sqrt((2/(LC))^2+(R/L)^2) $ da cui
$ \omega^2=1/(LC)-(R/(2L))^2 $ ovvero $ \omega^2=\omega_0^2-\gamma^2 $
Però il mio prof ha scritto come soluzione
$ i(t)=Ae^(-\gammat)cos(\omegat+\phi) $
Non ho ben capito perché. Mi aiutereste a capirlo?
Grazie
Risposte
È la stessa cosa, $Acosx+Bsinx$ si può scrivere come $Ccos(x+phi)$ con $C$ e $phi$ opportunamente scelti
Okay, pardon... chiedo scusa per la domanda banale,ma son poco ferrato sulle eq differenziali.
grazie mille, gentilissimo
grazie mille, gentilissimo
C'entra poco con le eq. differenziali questo, è una questione di trigonometria che ovviamente non viene insegnata nei corsi di analisi, sperando sia stata insegnata alle superiori. Un'altra tipica domanda è "perchè il mio prof ha usato $cos(omegat+phi)$ invece di $sin(omegat+phi)$ come è scritto nel libro?". Ecco, se il tuo prof invece del coseno avesse usato il seno avrebbe sbagliato o no?
La mia base di matematica del liceo è scarsa. (Il prof non ha spiegato tutti questi passaggi, li ho fatti io appunto per far esercizio).
Dunque..secondo me se avesse usato il seno avrebbe sbagliato
Dunque..secondo me se avesse usato il seno avrebbe sbagliato
Hint:
$sin(x+pi/2)=-cos(x)$
$sin(x+pi/2)=-cos(x)$
\(\displaystyle \frac{R^2}{4L^2}<\frac{1}{LC} \Rightarrow R<2\sqrt{\frac{L}{C}}\)
Dovrebbe essere così?
Dovrebbe essere così?
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