Equazione ocmplessa di secondo grado
Salve a tutti, ho di nuovo bisogno del vostro aiuto!
Ho quest'equazione $z^2+2z-(2i-1)=0$ che svolgo fino a $(-2+2sqrt(2i))/2$.
Poi cerco le radici di $sqrt(2i)$ ed ottengo $sqrt(2)+isqrt(2)$ e $-sqrt(2)-isqrt(2)$
Solo che le soluzioni secondo Wolfram sono $-2-i$ e $i$.
Dove sbaglio? Grazie!
Ho quest'equazione $z^2+2z-(2i-1)=0$ che svolgo fino a $(-2+2sqrt(2i))/2$.
Poi cerco le radici di $sqrt(2i)$ ed ottengo $sqrt(2)+isqrt(2)$ e $-sqrt(2)-isqrt(2)$
Solo che le soluzioni secondo Wolfram sono $-2-i$ e $i$.
Dove sbaglio? Grazie!
Risposte
"Windserfer":
Ho quest'equazione $z^2+2z-(2i-1)=0$ che svolgo fino a $(-2+2sqrt(2i))/2$.
sono d'accordo, solo semplificherei i $2$
$z_(1,2)=-1+sqrt(2i)$
"Windserfer":
Poi cerco le radici di $sqrt(2i)$ ed ottengo $sqrt(2)+isqrt(2)$ e $-sqrt(2)-isqrt(2)$
A me torna diverso
$sqrt(2i)=sqrt2sqrti$
so che
$sqrti=1/(sqrt2)+1/(sqrt2)i$
o
$sqrti=-1/(sqrt2)-1/(sqrt2)i$
quindi sostituisco e ottengo
$z_1=-1+sqrt2(1/(sqrt2)+1/(sqrt2)i)=-1+1+i=i$
$z_2=-1+sqrt2(-1/(sqrt2)-1/(sqrt2)i)=-1-1-i=-2-i$
$z_1=i$
$z_2=-2-i$
per assicurarmi che i risultati siano corretti li sostituisco nell'equazione iniziale e controllo che l'uguaglianza sia vera
Io sono per una strada più semplice.
Con un po' di algebra si vede che l'equazione assegnata è del tutto equivalente a:
\[
(z+1)^2 = 2\imath
\]
che si risolve a mente prendendo le due radici quadre complesse di \(2\imath\).
Con un po' di algebra si vede che l'equazione assegnata è del tutto equivalente a:
\[
(z+1)^2 = 2\imath
\]
che si risolve a mente prendendo le due radici quadre complesse di \(2\imath\).
Come prima cosa vorrei ringraziarvi per avermi risposto così rapidamente!
@Gugo assolutamente d'accordo, ma non ho ancora un occhio che mi permette "di vedere" queste scorciatoie
e comunque mi sarei incartato dopo perchè il mio problema era dunque $sqrt(2i)$...
Finalmente ho capito il mio errore! avevo scritto male la formula e non avevo segnato che bisogna fare anche la radice del modulo!
Ovviamente ora mi riesce tutto!
Grazie ancora!
@Gugo assolutamente d'accordo, ma non ho ancora un occhio che mi permette "di vedere" queste scorciatoie
e comunque mi sarei incartato dopo perchè il mio problema era dunque $sqrt(2i)$...Finalmente ho capito il mio errore! avevo scritto male la formula e non avevo segnato che bisogna fare anche la radice del modulo!
Ovviamente ora mi riesce tutto!
Grazie ancora!
Visto che si tratta dello stesso argomento non apro un altro post!
Ho ancora qualche problema, questa volta con la seguente equazione $z/(\bar z)=iz-1$ ...
moltiplico a destra e sinistra per $\bar z$ e "passo" alle incognite algebriche ottenendo $x+iy=(i(x+iy)-1)(x-iy)$ solo che risolvendo il sistema ottengo $x = 0$.
Wolfram dice che non ci sono soluzioni :/
Ho ancora qualche problema, questa volta con la seguente equazione $z/(\bar z)=iz-1$ ...
moltiplico a destra e sinistra per $\bar z$ e "passo" alle incognite algebriche ottenendo $x+iy=(i(x+iy)-1)(x-iy)$ solo che risolvendo il sistema ottengo $x = 0$.
Wolfram dice che non ci sono soluzioni :/
Premetto che è comunque il caso di attendere l'intervento di gugo...
ad ogni modo quando ti liberi del denominatore $bar z$, devi assicurarti che lo stesso sia diverso da zero, non trovi?
Quando poi svolgi i tuoi conti e trovi che la soluzione è $z=0$, sei nei pasticci perchè anche il suo coniugato è zero, pertanto la tua soluzione non va bene perchè all'inizio hai fatto un passaggio in cui presupponevi che lo stesso fosse diverso da zero. Tu che dici?
ad ogni modo quando ti liberi del denominatore $bar z$, devi assicurarti che lo stesso sia diverso da zero, non trovi?
Quando poi svolgi i tuoi conti e trovi che la soluzione è $z=0$, sei nei pasticci perchè anche il suo coniugato è zero, pertanto la tua soluzione non va bene perchè all'inizio hai fatto un passaggio in cui presupponevi che lo stesso fosse diverso da zero. Tu che dici?
Giustissimo! mi dimentico sempre qualcosa!
Ora scusami se approfitto della tua gentilezza...
In questo esercizio invece:
"Per quali z, appartenenti al campo complesso, il numero: $w=i|z|^2+2z$ Assume valori reali?
Rappresentare le immagini degli z nel piano di Gauss."
So che l'angolo di $w$ deve essere o $0$ o $pi$ o un multiplo di questi, ma ocme procedo?
Io ho pensato di risolvere l'equazione ponendo $w = t+iu$ e risolverla per poi porre infine $u=0$ ma temo di essere sulla strada sbagliata :/
Ora scusami se approfitto della tua gentilezza...
In questo esercizio invece:
"Per quali z, appartenenti al campo complesso, il numero: $w=i|z|^2+2z$ Assume valori reali?
Rappresentare le immagini degli z nel piano di Gauss."
So che l'angolo di $w$ deve essere o $0$ o $pi$ o un multiplo di questi, ma ocme procedo?
Io ho pensato di risolvere l'equazione ponendo $w = t+iu$ e risolverla per poi porre infine $u=0$ ma temo di essere sulla strada sbagliata :/
La strada è giusta: perché $w$ abbia valori reali, deve risultare nulla la sua parte immaginaria. Risolvi l'equazione $Im(w)=0$ ed otterrai i punti per cui $w$ è a valori reali. 
Mi esce $w=2x+i(x^2+y^2+2y)$ quindi pongo $x^2+y^2+2y=0$ e trovo come soluzioni $0$ e $-2i$ ...
Wolfram tira fuori una retta :/ misà che sbaglio qualcosa!
Invece per affrontare $z=3^i$ avete qualche consiglio?
Wolfram tira fuori una retta :/ misà che sbaglio qualcosa!
Invece per affrontare $z=3^i$ avete qualche consiglio?
Direi che le $z$ per cui $w$ è reale sono tutti i punti della circonferenza di equazione $\gamma: x^2+y^2+2y=0$. Piuttosto, $0$ e $-2y$ sono solo le intersezioni di $\gamma$ con l'asse immaginario.
Cosa dovresti fare con $z=3^i$? ^^
Cosa dovresti fare con $z=3^i$? ^^
"DelCrossB":
Cosa dovresti fare con $z=3^i$? ^^
Forse - azzardo - Windserfer intende mettere quella potenza in una forma più canonica. Ma in quel caso bastano un paio di proprietà del logaritmo (anche complesso) per poi usare la solita formula di Eulero
$3^i= e^(i log(3)) = cos(log(3))+i sin(log(3))$
suppongo sia così anche io il testo è "Calcolare:"
Invece con questo qui $z=2ln(-2-2i)$ ho qualche problemino...
a me esce $2ln(2sqrt(2))+i(5/4pi+2kpi)$ ma secondo wolfram $Imz$ è negativa... :/
Comunque grazie a tutti
il testo è "Calcolare:"Invece con questo qui $z=2ln(-2-2i)$ ho qualche problemino...
a me esce $2ln(2sqrt(2))+i(5/4pi+2kpi)$ ma secondo wolfram $Imz$ è negativa... :/
Comunque grazie a tutti
Al posto di \(\frac{5}{4}\pi\) avrà preso l'argomento principale di \(-2-2\imath\), cioé \(-\frac{3}{4}\pi\).
Giusto! Grazie!
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