Equazione numeri complessi

[Francesco271]

Salve, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi con la sequente equazione complessa?

$ z^7 + 2z^4 - |z|z^3 - 2|z| = 0 $

Ho provato a risolverlo in questo modo

$ z^3(z^4 - |z|) + 2(z^4 - |z|) = 0 $
$ (z^3 + 2)(z^4 - |z|) = 0 $

Dalla prima parentesi posso quindi trovare le prime 3 soluzioni, tuttavia mi trovo in difficoltà nel trovare le altre 3 per via del modulo. Qualche consiglio? Dovrei impostare $ z= x + iy $ per poi elevare alla quarta ed al modulo sostituire $ √(x^2 + y^2) $ ? Grazie

[Camillo]

Per risolvere $z^4-|z|=0 $ prova ad usare la forma esponenziale $ z =rho e^(itheta) $

[Francesco271]

"Camillo":Per risolvere $z^4-|z|=0 $ prova ad usare la forma esponenziale $ z =rho e^(itheta) $

Non ci avevo pensato, ed al posto di |z| uso $ rho $?

[Camillo]

Certamente !

[Francesco271]

"Camillo":Certamente !

Scusami se riesumo il post ma continua a non trovare 2 delle 3 soluzioni (dovrebbero essere -1, 0, 1).
Ho provato a risolverlo così:

$ z^4 - |z| = 0 $
$ rho^4 e^(i4theta) - rho = 0 $
$ rho [rho^3e^(i4theta)] = 0 $
$ rho = 0 $ da quì trovo la prima soluzione $ z = 0 $
Poi $ rho^3 e^(i4theta) = 0 $
Quindi $ rho^3 = 0 $ che mi fa ottenere lo stesso risultato $ rho = 0 $
e poi $ e^(i4theta) = 0 $ che risulta impossibile.

[Camillo]

Attento !!
da $rho4 e^(i4theta)-rho =0 $ ottieni $rho(rho^3 e^(i4theta)-1)=0 $ e quindi $rho=0 $ ma anche
$rho^3e^(i4theta) =1 $ da cui... prosegui tu

[Francesco271]

"Camillo":Attento !!
da $rho4 e^(i4theta)-rho =0 $ ottieni $rho(rho^3 e^(i4theta)-1)=0 $ e quindi $rho=0 $ ma anche
$rho^3e^(i4theta) =1 $ da cui... prosegui tu

Hai ragione! Che errore stupido!
Ottengo quindi $ rho^3e^(i4theta) =1 $
Che trasformo in $ rho^3 [cos(4theta) + i sen(4theta)] = 1 $
Moltiplico ed imposto
$ rho^3 cos(4theta) = 1 $ e $ rho^ 3 isen(4theta) = 0 $
Mi occupo del sistema e risolvo la seconda equazione:
$ rho^3 = 0 $ non va bene perché inserita nella prima equazione dà un assurdo,
quindi imposto $ sen(4theta) = 0 $
Da quì ottengo $ theta1 = 0 + 2kpi $ e $ theta2 = pi + 2kpi $
Provo a risolvere quindi l'equazione $ rho^3 cos(4theta) = 1 $ con entrambi i valori di $ theta $
Con $ theta = 0 $ ottengo $ rho^3 1 = 1 $
Quindi $ rho = 1 $ e la prima soluzione $ z = 1 $

Con invece $ theta = pi $ ottengo $ cos(4theta) = -1 $
Quindi $ rho^3 (-1) = 1 $ ed ottengo $ rho = -1 $
Ed ecco la seconda soluzione che viene comunque $ z = 1 $
Non c'è quindi la soluzione $ z = -1 $ ?

EDIT: ho trovato da solo la soluzione riflettendoci.
Da $ ρ3cos(4θ)=1 $ devo trovare le quattro soluzioni utilzzando la formula per trovare le radici sapendo che $ rho = 1 $ e $ theta = 0 + 2kpi $ ottengo così le 4 soluzioni $ z = 1, i, -1, -i $

[Camillo]

N.B. $rho>=0 $ sempre $( rho = -1 )$ No !.

Farei così : $rho^3*e^(i4theta)=1 $ da cui $ rho=1 $ e quindi :
$e^(i4theta)=1 = e^(i2kpi) $ Ok ? ne segue :
$4theta = 2kpi ; theta= kpi/2 ; z= e^(ikpi/2)$

se $k=0 , z_0= e^0=1 $
se $k=1 ,z_1= e^(ipi/2)=i $
se$ k=2 , z_2 = e^(ipi)=-1$
se $ k= 3 , z_3= e^(i3pi/2)= -i $

poi si ripetono le stesse soluzioni.

[Francesco271]

Ti ringrazio Camillo! Se noti l'EDIT del messaggio precedente, ero riuscito anche a risolverlo da solo, mi dispiace averti fatto perdere tempo.

[Camillo]

Ottimo che l'hai risolto da solo non è perdita di tempo ..