Equazione numeri complessi
Salve ragazzi , sapete come si risolve l’esercizio
$ 2z+z^2=-|z^4|/2 $
$ 2z+z^2=-|z^4|/2 $
Risposte
Ciao it_matt,
Benvenuto sul forum!
Complimenti per il nick, dal quale direi che tu possa essere della zona di Bologna...
Innanzitutto osserverei che $z = 0 $ è senz'altro una soluzione dell'equazione proposta. Poi, ponendo $z := x + iy $ ed osservando che $|z^4 | = |z|^4 $, l'equazione proposta si può riscrivere nel modo seguente:
$ 4(x + iy) + 2(x^2 + 2ixy - y^2) = - (sqrt{x^2 + y^2})^4 $
$ 4x + 4iy + 2x^2 + 4ixy - 2y^2 = - (x^2 + y^2)^2 $
$ x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 + 2x^2 - 2y^2 + 4x + 4iy(1 + x) = 0 $
Da quest'ultima equazione si ottengono le due equazioni seguenti:
$ {(x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 + 2x^2 - 2y^2 + 4x = 0),(4y(1 + x) = 0):} $
Dalla seconda equazione si ottengono le due soluzioni $y = 0 $ e $x = - 1$
Per $y = 0 $ la prima equazione diventa $x^4 + 2x^2 + 4x = 0 \implies x(x^3 + 2x + 4) = 0 \implies x_1 = 0 \implies z_1 = 0 $
(soluzione già menzionata) e $x^3 + 2x + 4 = 0 \iff {(y = x^3),(y = - 2x - 4):} $ che ha l'unica soluzione reale $ x_2 = - 1,1795 $
Per $x = - 1 $ la prima equazione diventa $1 + 2y^2 + y^4 + 2 - 2y^2 - 4 = 0 \implies y^4 - 1 = 0 \implies (y^2 - 1)(y^2 + 1) = 0 $;
quest'ultima equazione ha le uniche $2$ soluzioni reali $y_{3, 4} = \pm 1 $
Perciò in definitiva le $4 $ soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$z_1 = 0 $
$z_2 = - 1,1795 $
$z_3 = - 1 + iy_3 = - 1 + i $
$z_4 = - 1 + iy_4 = - 1 - i $
Benvenuto sul forum!
Complimenti per il nick, dal quale direi che tu possa essere della zona di Bologna...
Innanzitutto osserverei che $z = 0 $ è senz'altro una soluzione dell'equazione proposta. Poi, ponendo $z := x + iy $ ed osservando che $|z^4 | = |z|^4 $, l'equazione proposta si può riscrivere nel modo seguente:
$ 4(x + iy) + 2(x^2 + 2ixy - y^2) = - (sqrt{x^2 + y^2})^4 $
$ 4x + 4iy + 2x^2 + 4ixy - 2y^2 = - (x^2 + y^2)^2 $
$ x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 + 2x^2 - 2y^2 + 4x + 4iy(1 + x) = 0 $
Da quest'ultima equazione si ottengono le due equazioni seguenti:
$ {(x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 + 2x^2 - 2y^2 + 4x = 0),(4y(1 + x) = 0):} $
Dalla seconda equazione si ottengono le due soluzioni $y = 0 $ e $x = - 1$
Per $y = 0 $ la prima equazione diventa $x^4 + 2x^2 + 4x = 0 \implies x(x^3 + 2x + 4) = 0 \implies x_1 = 0 \implies z_1 = 0 $
(soluzione già menzionata) e $x^3 + 2x + 4 = 0 \iff {(y = x^3),(y = - 2x - 4):} $ che ha l'unica soluzione reale $ x_2 = - 1,1795 $
Per $x = - 1 $ la prima equazione diventa $1 + 2y^2 + y^4 + 2 - 2y^2 - 4 = 0 \implies y^4 - 1 = 0 \implies (y^2 - 1)(y^2 + 1) = 0 $;
quest'ultima equazione ha le uniche $2$ soluzioni reali $y_{3, 4} = \pm 1 $
Perciò in definitiva le $4 $ soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:
$z_1 = 0 $
$z_2 = - 1,1795 $
$z_3 = - 1 + iy_3 = - 1 + i $
$z_4 = - 1 + iy_4 = - 1 - i $
Volevo ringraziarti per il tuo caloroso benvenuto. Ma soprattutto volevo ringraziarti per avermi aiutato nello svolgimento dell’esercizio. Una sola cosa non ho capito ovvero come si trova il valore preciso della seconda soluzione
"it_matt":
Volevo ringraziarti per il tuo caloroso benvenuto.
Prego!
"it_matt":
Una sola cosa non ho capito ovvero come si trova il valore preciso della seconda soluzione
Io ho usato WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+%2B+2x+%2B+4+%3D+0
Se non hai la possibilità di usare software online, perché magari stai facendo una prova scritta e naturalmente non te ne viene concesso l'uso, applicherei il metodo di Newton-Raphson, cioè risolverei l'equazione $f(x) = 0 $ ove $f(x) := x^3 + 2x + 4 $, partendo magari dal punto iniziale $x_0 = - 1 $ che si può desumere abbastanza facilmente dall'intersezione delle due funzioni ${(y = x^3),(y = - 2x - 4):} $
https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_tangenti
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