Equazione numeri complessi

[Ian2]

Non riesco a risolvere questa equazione:

$ z^4+(1-2i)z^2-2i=0 $

Ho provato ponendo $ omega = z^2 $ ed effettuando la solita sostituzione $ omega = (x+iy) $, ma non riesco a venirne a capo.
Potreste darmi una mano?

Grazie mille

[Pierlu11]

Una volta fatta quella sostituzione puoi andare avanti risolvendo l'equazione di secondo grado che ti viene fuori nella maniera classica.

[Ian2]

"Pierlu11":Una volta fatta quella sostituzione puoi andare avanti risolvendo l'equazione di secondo grado che ti viene fuori nella maniera classica.

Il problema è che il discriminante risulta $ -3+4i $ e non saprei come riscriverlo in forma polare per il calcolo delle radici complesse utilizzando De Moivre...

Grazie per la risposta.

[Pierlu11]

Nella scrittura trigonometrica puoi lasciare l'angolo $ theta $ generico tanto poi ti interessa calcolare solo $ cos(theta/2) $ , $ sin(theta/2) $ , $ cos(theta/2+pi) $ e $ sin(theta/2+pi) $ .
Se non ti torna dimmelo che scrivo il procedimento completo.

[Ian2]

Sì, ma non riesco a capire come io possa calcolare le radici mantenendo l'angolo generico. Potresti scrivermi il procedimento?

[Pierlu11]

Dopo la sostituzione $ z^2=w $ ottengo $ w^2+(1-2i)w-2i=0 $ quindi
$ w_k=1/2(-1+2i+sqrt(-3+4i)) $ ;
$ -3+4i=5(-3/5+4/5i)=5(costheta+isintheta) $ dove $ costheta=-3/5 $ e $ sintheta=4/5 $ .
Allora le due radici sono $ sqrt(5)(cos(theta/2)+isin(theta/2)) $ e $ sqrt(5)(cos(theta/2+pi)+isin(theta/2+pi))=sqrt(5)(-cos(theta/2)-isin(theta/2)) $ dove $ cos(theta/2)=sqrt((1+costheta)/(2))=sqrt((1-3/5)/(2))=1/sqrt(5) $ e $ sin(theta/2)=sqrt((1-costheta)/(2))=sqrt((1+3/5)/(2))=2/sqrt(5) $ .
Quindi $ w_0=1/2(-1+2i+sqrt(5)(1/sqrt(5)+i(2/sqrt(5)))=1/2(-1+2i+1+2i)=2i $ e $ w_1=1/2(-1+2i+sqrt(5)(-1/sqrt(5)+i(-2/sqrt(5)))=1/2(-1+2i-1-2i)=-1 $
Infine ricavi $ z $ ...

[Ian2]

"Pierlu11":Dopo la sostituzione $ z^2=w $ ottengo $ w^2+(1-2i)w-2i=0 $ quindi
$ w_k=1/2(-1+2i+sqrt(-3+4i)) $ ;
$ -3+4i=5(-3/5+4/5i)=5(costheta+isintheta) $ dove $ costheta=-3/5 $ e $ sintheta=4/5 $ .
Allora le due radici sono $ sqrt(5)(cos(theta/2)+isin(theta/2)) $ e $ sqrt(5)(cos(theta/2+pi)+isin(theta/2+pi))=sqrt(5)(-cos(theta/2)-isin(theta/2)) $ dove $ cos(theta/2)=sqrt((1+costheta)/(2))=sqrt((1-3/5)/(2))=1/sqrt(5) $ e $ sin(theta/2)=sqrt((1-costheta)/(2))=sqrt((1+3/5)/(2))=2/sqrt(5) $ .
Quindi $ w_0=1/2(-1+2i+sqrt(5)(1/sqrt(5)+i(2/sqrt(5)))=1/2(-1+2i+1+2i)=2i $ e $ w_1=1/2(-1+2i+sqrt(5)(-1/sqrt(5)+i(-2/sqrt(5)))=1/2(-1+2i-1-2i)=-1 $
Infine ricavi $ z $ ...

Grazie mille, gentilissimo!

[Pierlu11]

Di nulla!