Equazione numeri complessi?
Ciao ragazzi , devo svolgere questa equazione sui numeri complessi:
$ (|Z|^2 +|Z| -6) (Z^3 - 1) =0 $
Ho pensato di dividerla in 2 parti:
$(|Z|^2 + |Z| - 6 ) =0 $ e
$(Z^3 - 1 ) = 0 $
Ho difficolta su entrambe , in particolare sulla seconda , la prima arrivo fino in fondo e mi blocco..
PROCEDIMENTO 1 EQUAZIONE
Utilizzo la formula per il calcolo del delta..
( vi metto la foto che con i simboli ci metterei troppo )
il problema è che le soluzioni solo $2$ e $-3$ e a me denominatore e numeratore non si semplificano. come si fa? :/
PROCEDIMENTE 2 EQUAZIONE
non ne ho proprio idea..
Grazie a chi mi aiuterà
!
$ (|Z|^2 +|Z| -6) (Z^3 - 1) =0 $
Ho pensato di dividerla in 2 parti:
$(|Z|^2 + |Z| - 6 ) =0 $ e
$(Z^3 - 1 ) = 0 $
Ho difficolta su entrambe , in particolare sulla seconda , la prima arrivo fino in fondo e mi blocco..
PROCEDIMENTO 1 EQUAZIONE
Utilizzo la formula per il calcolo del delta..
( vi metto la foto che con i simboli ci metterei troppo )
il problema è che le soluzioni solo $2$ e $-3$ e a me denominatore e numeratore non si semplificano. come si fa? :/
PROCEDIMENTE 2 EQUAZIONE
non ne ho proprio idea..
Grazie a chi mi aiuterà
!
Risposte
la prima equazione ha come incognita $|z|$ che è un numero non negativo
quindi,l'unica soluzione accettabile è $|z|=2$,cioè gli infiniti numeri complessi che hanno modulo $2$
nel piano di Gauss sono rappresentati dalla circonferenza di centro l'origine e raggio $2$
quindi,l'unica soluzione accettabile è $|z|=2$,cioè gli infiniti numeri complessi che hanno modulo $2$
nel piano di Gauss sono rappresentati dalla circonferenza di centro l'origine e raggio $2$
Le soluzioni sono tutte e sole le $z$ che rendono nullo uno dei due fattori.
Quindi $z^3-1=0$ ha per soluzioni le tre radici complesse di 1 che sono $e^{(2i\pik)/3},k=0,1,2$, cioè $1$, $e^{(2i\pi)/3}=-1/2+i\sqrt{3}/2$ e $e^{(4i\pi)/3}=-1/2-i\sqrt{3}/2$, che calcoli utilizzando il fatto che $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.
\(|z|^2+|z|-6=0\) è un'equazione di secondo grado in \(|z|\) e perciò ha per soluzioni le soluzioni reali positive, perché si tratta di un valore assoluto, di $x^2+x-6=0$, cioè $x=\frac{-1+\sqrt{1+24}}{2}=2$ (l'altra radice è negativa). Perciò $z$ è una soluzione anche quando è qualunque numero di modulo 2 del piano complesso, quindi l'equazione ha per zero anche $2e^{i\theta}$ per qualunque $\theta$ reale (o \(\theta\in[0,2\pi)\), che è lo stesso perché con questo intervallo esaurisci tutti i possibili valori assunti da $e^{i\theta}$).
Ciao!
P.S.: Mi scuso con stormy, che mi sono accorto che ha risposto mentre scrivevo questo post, che comunque invio perché ormai l'ho scritto.
Quindi $z^3-1=0$ ha per soluzioni le tre radici complesse di 1 che sono $e^{(2i\pik)/3},k=0,1,2$, cioè $1$, $e^{(2i\pi)/3}=-1/2+i\sqrt{3}/2$ e $e^{(4i\pi)/3}=-1/2-i\sqrt{3}/2$, che calcoli utilizzando il fatto che $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.
\(|z|^2+|z|-6=0\) è un'equazione di secondo grado in \(|z|\) e perciò ha per soluzioni le soluzioni reali positive, perché si tratta di un valore assoluto, di $x^2+x-6=0$, cioè $x=\frac{-1+\sqrt{1+24}}{2}=2$ (l'altra radice è negativa). Perciò $z$ è una soluzione anche quando è qualunque numero di modulo 2 del piano complesso, quindi l'equazione ha per zero anche $2e^{i\theta}$ per qualunque $\theta$ reale (o \(\theta\in[0,2\pi)\), che è lo stesso perché con questo intervallo esaurisci tutti i possibili valori assunti da $e^{i\theta}$).
Ciao!
P.S.: Mi scuso con stormy, che mi sono accorto che ha risposto mentre scrivevo questo post, che comunque invio perché ormai l'ho scritto.
ciao faby,
ti prego di editare il tuo post togliendo l'immagine e riscrivendo il tutto usando le formule. Purtroppo dopo un po' le immagini non si caricano più e questo thread sarebbe decapitato. Grazie.
ti prego di editare il tuo post togliendo l'immagine e riscrivendo il tutto usando le formule. Purtroppo dopo un po' le immagini non si caricano più e questo thread sarebbe decapitato. Grazie.
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