Equazione numeri complessi
propongo due esercizi coni numeri complessi:
\(\displaystyle 1)\) Quale dei seguenti numeri complessi è soluzione dell'equazione \(\displaystyle \frac{1}{\overline{z}}=1+i \)?
\(\displaystyle 2+2i \);
\(\displaystyle 2-2i \);
\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \);
\(\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i \)
Non capisco come va fatto...
\(\displaystyle 2) \) Quali sono le soluzioni di questa equazione?
\(\displaystyle z^2-(i+1)z + i=0 \)
posto \(\displaystyle z=a+ib \ \) ottengo
\(\displaystyle a^2-b^2 +2abi-(ai-b+a+ib)+i=0 \)
\(\displaystyle a^2-b^2+b-a+i(2ab-a+b+1)=0 \)
Ma adesso come procedo?
\(\displaystyle 1)\) Quale dei seguenti numeri complessi è soluzione dell'equazione \(\displaystyle \frac{1}{\overline{z}}=1+i \)?
\(\displaystyle 2+2i \);
\(\displaystyle 2-2i \);
\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \);
\(\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i \)
Non capisco come va fatto...
\(\displaystyle 2) \) Quali sono le soluzioni di questa equazione?
\(\displaystyle z^2-(i+1)z + i=0 \)
posto \(\displaystyle z=a+ib \ \) ottengo
\(\displaystyle a^2-b^2 +2abi-(ai-b+a+ib)+i=0 \)
\(\displaystyle a^2-b^2+b-a+i(2ab-a+b+1)=0 \)
Ma adesso come procedo?
Risposte
1) Provi a risolvere l'equazione oppure inserisci le varie soluzioni nell'equazione e vedi se l'equazione diventa una identità.
Ad es. pony $z = 2+2i $ e fai i conti : se questa non va bene prova le altre.
Ad es. pony $z = 2+2i $ e fai i conti : se questa non va bene prova le altre.
Si ma per es sostituendo \(\displaystyle 2+2i \) ottengo
\(\displaystyle \frac{1}{2-2i}=1+i \)
\(\displaystyle 2-2i=1+i \)
e non arrivo a una conclusione....
\(\displaystyle \frac{1}{2-2i}=1+i \)
\(\displaystyle 2-2i=1+i \)
e non arrivo a una conclusione....
2) Potresti anche usare la " normale " formula di risoluzione dell'equazione di secondo grado, ricordando poi che si tratta di numeri complessi , quando fai la radice quadrata.
Dai miei conti risulta $a^2-b^2-a+b+i(2ab-a-b+1)=0 $
Al primo membro hai un numero complesso, al secondo pure . scriviamolo così : $0+i*0 $
Perchè due numeri complessi siano uguali bisogna che abbiano uguale parte reale e parte immaginaria.
Quindi
$a^2-b^2-a+b=0$
$2ab-a-b+1 =0 $
rimanenggiando la prima si ha : $(a+b)(a-b) -(a-b) = (a-b)(a+b-1 )=0 $
da cui le soluzioni :
$a=b$
$ a+b=1 $
Inserendo la prima soluzione nella seconda equazione ottieni : $ 2a^2-2a+1=0 $ che non ha radici reali e quindi non produce nessuna soluzione per l'equazione iniziale.
Naturalemnte ricorda che $a, b in RR $.
Prova ora con la seconda soluzione cioè $ a+b=1 $ che sostituita nella seconda equazione porta aa $a=0 $ e $ a= 1 $ .
In conclusione $z_1 =i $ ; $z_2 = 1 $. OK ?
Dai miei conti risulta $a^2-b^2-a+b+i(2ab-a-b+1)=0 $
Al primo membro hai un numero complesso, al secondo pure . scriviamolo così : $0+i*0 $
Perchè due numeri complessi siano uguali bisogna che abbiano uguale parte reale e parte immaginaria.
Quindi
$a^2-b^2-a+b=0$
$2ab-a-b+1 =0 $
rimanenggiando la prima si ha : $(a+b)(a-b) -(a-b) = (a-b)(a+b-1 )=0 $
da cui le soluzioni :
$a=b$
$ a+b=1 $
Inserendo la prima soluzione nella seconda equazione ottieni : $ 2a^2-2a+1=0 $ che non ha radici reali e quindi non produce nessuna soluzione per l'equazione iniziale.
Naturalemnte ricorda che $a, b in RR $.
Prova ora con la seconda soluzione cioè $ a+b=1 $ che sostituita nella seconda equazione porta aa $a=0 $ e $ a= 1 $ .
In conclusione $z_1 =i $ ; $z_2 = 1 $. OK ?
"Oo.tania":
Si ma per es sostituendo \(\displaystyle 2+2i \) ottengo
\(\displaystyle \frac{1}{2-2i}=1+i \)
\(\displaystyle 2-2i=1+i \)
e non arrivo a una conclusione....
il passaggio che hai fatto non è corretto
$1/(2-2i ) ne (2-2i) $ ma
$1/(2-2i) = (2+2i)/8 = 1/4(1+i) $ che è diverso da $1+i $ quindi $2+2i $ non è soluzione dell'equazione.
La soluzione dovrebbe essere \(\displaystyle \frac{1}{2}+ \frac{1}{2i} \)
avrei:
\(\displaystyle \frac{1}{ \frac{1}{2}- \frac{1}{2i} } \)
Da cui ottengo
\(\displaystyle 2-2i \).............
avrei:
\(\displaystyle \frac{1}{ \frac{1}{2}- \frac{1}{2i} } \)
Da cui ottengo
\(\displaystyle 2-2i \).............
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