Equazione non lineare
salve a tutti ho la seguente equazione
$108,2=10 +(0.107/x)*(1-e^(-365x))$
dovrei ricavare la x.
ho provato a ipotizzare trascurabile l'esponenziale e a risolverla ma una volta trovato x ho visto che tale ipotesi non era accettabile.qualcuno può aiutarmi?
grazie
$108,2=10 +(0.107/x)*(1-e^(-365x))$
dovrei ricavare la x.
ho provato a ipotizzare trascurabile l'esponenziale e a risolverla ma una volta trovato x ho visto che tale ipotesi non era accettabile.qualcuno può aiutarmi?
grazie
Risposte
Direi che hai unica soluzione.
Con [tex]$\alpha >0$[/tex], considera la funzione:
[tex]$f(x;\alpha):=\frac{1-e^{-\alpha x}}{x}$[/tex];
essa è continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (l'unico punto problematico è [tex]$0$[/tex], ma tutto si risolve col limite notevole) e [tex]$\lim_{x\to +\infty} f(x;\alpha )=0$[/tex], [tex]$\lim_{x\to -\infty} f(x;\alpha)=+\infty$[/tex]; la derivata è:
[tex]$f^\prime (x;\alpha)=\frac{e^{-\alpha x}}{x^2}\ (1-e^{\alpha x} +\alpha x)$[/tex],
ma, dato che [tex]\frac{e^{-\alpha x}}{x^2}> 0[/tex] e [tex]$1-e^{\alpha x}\leq -\alpha x$[/tex] (la funzione [tex]$1-e^{\alpha x}$[/tex] è concava e [tex]$y=-x$[/tex] è la tangente al suo grafico in [tex]$0$[/tex]), si ha [tex]$f^\prime (x;\alpha)\leq 0$[/tex]; conseguentemente la funzione decresce strettamente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Ora, fissato [tex]$\alpha =365$[/tex], consideriamo la funzione che hai a secondo membro, cioè:
[tex]$g(x)=10+0.107\ \frac{1-e^{-365 x}}{x} =10+0.107\ f(x;365)$[/tex];
per quanto detto in precedenza, la [tex]$g(x)$[/tex] è strettamente decrescente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed ha come immagine l'intervallo [tex]$]10,+\infty[$[/tex].
Dato che [tex]$108.2 \in ]10,+\infty[$[/tex], esiste certamente qualche [tex]$\xi \in \mathbb{R}$[/tex] tale che [tex]$g(\xi)=108.2$[/tex]; d'altra parte, per stretta monotonia, tale punto è unico.
Va da sé che la tua soluzione [tex]$\xi$[/tex] non lo puoi trovare in maniera elementare; tuttavia la puoi determinare in maniera approssimata usando algoritmi numerici. Se non vedo male è [tex]$\xi \approx -0.0068$[/tex].
Con [tex]$\alpha >0$[/tex], considera la funzione:
[tex]$f(x;\alpha):=\frac{1-e^{-\alpha x}}{x}$[/tex];
essa è continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (l'unico punto problematico è [tex]$0$[/tex], ma tutto si risolve col limite notevole) e [tex]$\lim_{x\to +\infty} f(x;\alpha )=0$[/tex], [tex]$\lim_{x\to -\infty} f(x;\alpha)=+\infty$[/tex]; la derivata è:
[tex]$f^\prime (x;\alpha)=\frac{e^{-\alpha x}}{x^2}\ (1-e^{\alpha x} +\alpha x)$[/tex],
ma, dato che [tex]\frac{e^{-\alpha x}}{x^2}> 0[/tex] e [tex]$1-e^{\alpha x}\leq -\alpha x$[/tex] (la funzione [tex]$1-e^{\alpha x}$[/tex] è concava e [tex]$y=-x$[/tex] è la tangente al suo grafico in [tex]$0$[/tex]), si ha [tex]$f^\prime (x;\alpha)\leq 0$[/tex]; conseguentemente la funzione decresce strettamente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Ora, fissato [tex]$\alpha =365$[/tex], consideriamo la funzione che hai a secondo membro, cioè:
[tex]$g(x)=10+0.107\ \frac{1-e^{-365 x}}{x} =10+0.107\ f(x;365)$[/tex];
per quanto detto in precedenza, la [tex]$g(x)$[/tex] è strettamente decrescente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed ha come immagine l'intervallo [tex]$]10,+\infty[$[/tex].
Dato che [tex]$108.2 \in ]10,+\infty[$[/tex], esiste certamente qualche [tex]$\xi \in \mathbb{R}$[/tex] tale che [tex]$g(\xi)=108.2$[/tex]; d'altra parte, per stretta monotonia, tale punto è unico.
Va da sé che la tua soluzione [tex]$\xi$[/tex] non lo puoi trovare in maniera elementare; tuttavia la puoi determinare in maniera approssimata usando algoritmi numerici. Se non vedo male è [tex]$\xi \approx -0.0068$[/tex].
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